Planimetria. Pole sześciokąta foremnego. Promień okręgu opisanego i wpisanego w sześciokąt foremny.
Dany jest sześciokąt foremny o boku a i polu P. Promień okręgu opisanego a tym sześciokącie jest równy R, a promień okręgu w niego wpisanego jest równy r. Przerysuj tabelę do zeszytu i ją uzupełnij.
[tex]\overline{\underline{\begin{array}{|c|c|c|c|}\ \ \ \ \ \ a\ \ \ \ \ &\ \ \ \ \ R\ \ \ \ \ \ &\ \ \ \ \ r\ \ \ \ \ \ &\ \ \ \ \ \ P\ \ \ \ \ \end{array}}}\\\underline{\begin{array}{|c|c|c|c|}\ \ \ \ 4cm\ \ \ &\ \ \ \ 4cm\ \ \ \ &\ 2\sqrt3cm\ \ &\ 24\sqrt3cm\ \end{array}}\\\underline{\begin{array}{|c|c|c|c|}\ \ \ \ 6cm\ \ \ &\ \ \ 6cm\ \ \ \ \ &\ 3\sqrt3cm\ \ &54\sqrt3cm^2\ \end{array}}\\\underline{\begin{array}{|c|c|c|c|}\frac{4\sqrt{2\sqrt3}}{3}cm&\frac{4\sqrt{2\sqrt3}}{3}cm&\frac{2\sqrt{6\sqrt3}}{3}cm&\ \ 16cm^2\ \ \ \end{array}}\\\underline{\begin{array}{|c|c|c|c|}\ 8\sqrt3cm\ \ &\ \ 8\sqrt3cm\ &\ \ \ 12cm\ \ \ &288\sqrt3cm^2\end{array}}[/tex]
ROZWIĄZANIA:
[tex]a[/tex] - bok sześciokąta foremnego
Pole sześciokąta foremnego:
[tex]P=6\cdot\dfrac{a^2\sqrt3}{4}=\dfrac{3a^2\sqrt3}{2}[/tex]
Promień okręgu opisanego na sześciokącie foremnym:
[tex]R=a[/tex]
Promień okręgu wpisanego w sześciokąt foremny:
[tex]r=\dfrac{a\sqrt3}{2}[/tex]
Korzystając z powyższych wzorów uzupełniamy tabelę:
Pierwszy wiersz:
[tex]a=4cm\\\\\huge\boxed{R=4cm}\\\\r=\dfrac{4\sqrt3}{2}cm\\\\\boxed{r=2\sqrt3\ cm}\\\\P=\dfrac{3\cdot4^2\sqrt3}{2}\\\\\boxed{P=24\sqrt3\ cm^2}[/tex]
Drugi wiersz:
[tex]R=6cm\\\\\huge\boxed{a=6cm}\\\\r=\dfrac{6\sqrt3}{2}\\\\\huge\boxed{r=3\sqrt3cm}\\\\P=\dfrac{3\cdot6^2\sqrt3}{2}\\\\\boxed{P=54\sqrt3cm^2}[/tex]
Trzeci wiersz:
[tex]P=16cm^2\\\\\dfrac{3a^2\sqrt3}{2}=16\qquad|\cdot2\\\\3a^2\sqrt3=32\qquad|\cdot\sqrt3\\\\3a^2\cdot3=32\sqrt3\\\\9a^2=32\sqrt3\qquad|:9\\\\a^2=\dfrac{32\sqrt3}{9}\to a=\sqrt{\dfrac{32\sqrt3}{9}}\\\\a=\dfrac{\sqrt{16\cdot2}\cdot\sqrt{\sqrt3}}{\sqrt9}\\\\\huge\boxed{a=\dfrac{4\sqrt{2\sqrt3}}{3}cm}[/tex]
[tex]\huge\boxed{R=\dfrac{4\sqrt{2\sqrt3}}{3}cm}\\r=\dfrac{\dfrac{4\sqrt{2\sqrt3}}{3}\cdot\sqrt3}{2}\\\\\huge\boxed{r=\dfrac{2\sqrt{6\sqrt3}}{3}cm}[/tex]
Czwarty wiersz:
[tex]r=12cm\\\\\dfrac{a\sqrt3}{2}=12\qquad|\cdot2\\\\a\sqrt3=24\qquad|\cdot\sqrt3\\\\3a=24\sqrt3\qquad|:3\\\\\huge\boxed{a=8\sqrt3cm}[/tex]
[tex]\huge\boxed{R=8\sqrt3cm}[/tex]
[tex]P=\dfrac{3\cdot(8\sqrt3)^2\sqrt3}{2}=\dfrac{3\cdot64\cdot3\sqrt3}{2}\\\\\huge\boxed{P=288\sqrt3cm^2}[/tex]
