Potencjał pola od tych dwóch ładunków +Q i -Q w pewnym punkcie P odległym od środka dipola o r:
[tex]\phi(\vec{r})=\frac{Q}{4\pi\epsion_0|\vec{r}_1|}-\frac{Q}{4\pi\epsion_0|\vec{r}_2|}[/tex]
gdzie r1 oraz r2 są wektorami od ładunku +Q do punktu P i od ładunku -Q do P.
Dipol niech będzie wyznaczony przez wektor d, wtedy:
[tex]\vec{r}_1=\vec{r}-\frac{1}{2}\vec{d}\\\vec{r}_2=\vec{r}+\frac{1}{2}\vec{d}\\|\vec{r}_1|=\sqrt{r^2+\frac{1}{4}d^2-rd\cos\theta}\\|\vec{r}_2|=\sqrt{r^2+\frac{1}{4}d^2+rd\cos\theta}[/tex]
[tex]\phi(r,\theta)=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0r}(\frac{1}{\sqrt{1+\frac{d^2}{4r^2}-\frac{d}{r}\cos\theta}}-\frac{1}{\sqrt{1+\frac{d^2}{4r^2}+\frac{d}{r}\cos\theta}})[/tex]
gdzie θ oznacza kąt pomiędzy wektorem d i wektorem r (między osią dipola i punktem P). Powyższy wzór jest dokładny, ale dość skomplikowany. Można go uprościć zauważając, że odległości r >> d. Wtedy:
[tex]\frac{1}{\sqrt{1+\frac{d^2}{4r^2}-\frac{d}{r}\cos\theta}}\approx1+\frac{d}{2r}\cos\theta\\\frac{1}{\sqrt{1+\frac{d^2}{4r^2}+\frac{d}{r}\cos\theta}}\approx1-\frac{d}{2r}\cos\theta[/tex]
[tex]\phi(r,\theta)=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0r}(1+\frac{d}{2r}\cos\theta-1+\frac{d}{2r}\cos\theta)\\\phi(r,\theta)=\frac{Qd}{4\pi\epsilon_0r^2}\cos\theta=\frac{\vec{p}\cdot\vec{r}}{4\pi\epsilon_0 r^3}[/tex]
gdzie p to tzw. moment dipolowy.
a)
na osi dipola:
[tex]\phi_\parallel(r)=\pm\frac{Qd}{4\pi\epsilon_0 r^2}[/tex]
gdzie znak zależy od tego, czy jesteśmy po stronie ładunku dodatniego (θ=0), czy ujemnego (θ=π)
natężenie pola:
[tex]\vec{E}(r,\theta)=-\nabla\phi(r,\theta)=\frac{Qd}{4\pi\epsilon_0r^2}[\frac{2}{r}\cos\theta;\sin\theta]\\\vec{E}_\parallel(r)=\frac{Qd}{2\pi\epsilon_0r^3}[\pm1;0][/tex]
b)
na symetralnej dipola
[tex]\phi_\perp(r)=0\\\vec{E}_\perp(r)=\frac{Qd}{4\pi\epsilon_0 r^2}[0;\pm1][/tex]
pozdrawiam