Odpowiedź :
Zdaje się, że równanie powinno być postaci: [tex]2\sin^2x-2\sin x+3=|k-2|-6[/tex]. Wtedy ma ono rozwiązania dla [tex]k\in[-11,-6\frac12]\cup[10\frac12,15][/tex].
Funkcja trygonometryczna sinus
Mamy cztery funkcje trygonometryczne: sinus, cosinus, tangens, cotangens. Działają one na kątach. Funkcja sinus przyjmuje wartości z przedziału od -1 do 1, czyli [tex]\sin x\in[-1,1][/tex].
Funkcja kwadratowa
Funkcja kwadratowa to taka funkcja, w której występuje zmienna w drugiej potędze. W postaci ogólnej zapisujemy ją jako: [tex]f(x)=ax^2+bx+c[/tex], gdzie a, b, c to współczynniki oraz [tex]a\neq0[/tex]. Wykresem tej funkcji jest parabola, w zależności od znaku a skierowana ramionami do góry (a>0) lub do dołu (a<0).
Współrzędne wierzchołka [tex]W(p,q)[/tex] paraboli możemy wyznaczyć ze wzorów:
[tex]p=-\frac{b}{2a}\\q=-\frac{\Delta}{4a}, \quad \text{gdzie} \quad \Delta =b^2-4ac[/tex]
Mamy równanie [tex]2\sin^2x-2\sin x+3=|k-2|-6[/tex]. Potraktujmy lewą stronę równania jako funkcję zmiennej t, tzn. [tex]t=\sin x[/tex] oraz [tex]t\in[-1,1][/tex]. Znajdziemy największą i najmniejszą wartość funkcji na tym przedziale.
Jest to parabola skierowana ramionami do góry, zatem jeśli wierzchołek funkcji zawiera się w tym przedziale, to w wierzchołku będzie miała wartość najmniejszą. Sprawdźmy, czy wierzchołek należy do dziedziny funkcji:
[tex]p=-\frac{-2}{2*2}=\frac24=\frac12\in[-1,1][/tex]
Zatem w wierzchołku funkcja osiąga wartość najmniejszą i jest ona równa:
[tex]f(\frac12)=2*(\frac12)^2-2*\frac12+3=2*\frac14-1+3=\frac12+2=2\frac12[/tex]
Wartość największa funkcji będzie w jednym z punktów: -1 lub 1. Policzymy te wartości:
[tex]f(-1)=2*(-1)^2-2*(-1)+3=2*1+2+3=2*5=7\\f(1)=2*1^1-2*1+3=2*1-2+3=2+1=3[/tex]
Funkcja największą wartość przyjmuje dla -1, jest ona równa 7. Zatem funkcja [tex]f(x)=2t^2-2t+3[/tex] przyjmuje wartości [tex][2\frac12,7][/tex]. Wracając do naszego równania, oznacza to, że równanie [tex]2\sin^2x-2\sin x+3=|k-2|-6[/tex] ma rozwiązania, jeśli po jego prawej stronie znajduje się liczba z przedziału [tex][2\frac12,7][/tex]. Poszukajmy, dla jakich wartości k prawa strona równania przyjmuje takie wartości. Rozwiążemy dwie nierówności:
[tex]|k-2|-6 \ge 2\frac12/+6 \quad \wedge \quad |k-2|-6 \le 7/+6\\|k-2| \ge 8\frac12 \quad \wedge \quad |k-2| \le 13\\(k-2 \ge 8\frac12/+2 \quad \vee \quad k-2 \le -8\frac12/+2) \quad \wedge \quad (k-2 \le 13/+2 \quad \wedge \quad k-2 \ge -13/+2)\\(k \ge 10\frac12 \quad \vee \quad k \le -6\frac12) \quad \wedge \quad (k \le 15 \quad \wedge k \ge -11)\\k\in(-\infty,-6\frac12]\cup[10\frac12,+\infty) \quad \wedge \quad k\in[-11,15]\\k\in[-11,-6\frac12]\cup[10\frac12,15][/tex]
Zatem równanie [tex]2\sin^2x-2\sin x+3=|k-2|-6[/tex] ma rozwiązanie dla [tex]k\in[-11,-6\frac12]\cup[10\frac12,15][/tex].
