Odpowiedź :
Równanie postaci [tex]3\cos^2x-2\cos x+2=|k+1|-7[/tex] ma rozwiązania dla wartości parametru [tex]k\in[-15,-9\frac23]\cup[7\frac23,13][/tex].
Funkcja trygonometryczna cosinus
Funkcje trygonometryczne określamy jako funkcje działające na kątach. Mamy cztery takie funkcje: sinus, cosinus, tangens, cotangens. Wartości funkcji cosinus należą do przedziału [tex][-1,1][/tex].
Funkcja kwadratowa
Funkcja kwadratowa to taka funkcja, w której zmienna jest w drugiej potędze. Wzór ogólny funkcji ma postać [tex]f(x)=ax^2+bx+c[/tex], gdzie a, b, c to współczynniki oraz [tex]a\neq0[/tex]. Wykres funkcji ma kształt paraboli skierowanej ramionami w górę (gdy a>0) lub w dół (gdy a<0).
Współrzędne wierzchołka paraboli [tex]W(p,q)[/tex] możemy wyznaczyć ze wzorów:
[tex]p=-\frac{b}{2a}\\q=-\frac{\Delta}{4a}, \quad \text{gdzie} \quad \Delta =b^2-4ac[/tex]
Mamy równanie postaci: [tex]3\cos^2x-2\cos x+2=|k+1|-7[/tex]. Wykonajmy podstawienie [tex]t=\cos x,t\in[-1,1][/tex], wtedy lewą stronę równania możemy potraktować jako funkcję [tex]f(t)=3t^2-2t+2[/tex]. Wyznaczymy jej zbiór wartości (będzie to zbiór, w którym będą zawierać się wartości prawej strony równania).
Sprawdźmy, czy wierzchołek paraboli zawiera się w przedziale [tex][-1,1][/tex]. Mamy:
[tex]p=-\frac{-2}{2*3}=\frac26=\frac13\in[-1,1][/tex]
Zatem w wierzchołku funkcja będzie miała wartość najmniejszą, która wynosi:
[tex]f(\frac13)=3*(\frac13)^2-2*\frac13+2=3*\frac19-\frac23+2=\frac13+1\frac13=1\frac23[/tex]
Znajdźmy jeszcze wartość największą funkcji na przedziale [tex][-1,1][/tex]. Będzie ona w jednym z krańców tego przedziału:
[tex]f(-1)=3*(-1)^2-2*(-1)+2=3*1+2+2=3+4=7\\f(1)=3*1^2-2*1+2=3*1-2+2=3[/tex]
Największa wartość funkcji na tym przedziale jest w -1, wynosi ona 7. Zatem zbiór wartości funkcji to [tex][1\frac23,7][/tex]. W tym przedziale zawierają się również wartości wyrażenia po prawej stronie równania [tex]|k+1|-7[/tex]. Znajdźmy jeszcze, dla jakich k prawa strona równania przyjmuje te wartości. W tym celu rozwiążemy nierówności:
[tex]|k+1|-7 \ge 1\frac23/+7 \quad \wedge \quad |k+1|-7 \le 7/+7\\|k+1| \ge 8\frac23 \quad \wedge \quad |k+1| \le 14\\(k+1 \ge 8\frac23/-1 \quad \vee \quad k+1 \le -8\frac23/-1) \quad \wedge \quad (k+1 \le 14/-1 \quad \wedge \quad k+1 \ge -14/-1)\\(k \ge 7\frac23 \quad \vee \quad k \le -9\frac23) \quad \wedge \quad (k \le 13 \quad \wedge \quad k \ge -15)\\k\in(-\infty,-9\frac23]\cup[7\frac23,+\infty) \quad \wedge \quad k\in[-15,13]\\k\in[-15,-9\frac23]\cup[7\frac23,13][/tex]
Zatem dla [tex]k\in[-15,-9\frac23]\cup[7\frac23,13][/tex] równanie [tex]3\cos^2x-2\cos x+2=|k+1|-7[/tex] ma rozwiązania.
