Zacznę od wyjaśnienia czym jest logarytmowanie?
Z definicji logarytmu wiemy, że:
[tex]\log_ab=c\iff a^c=b[/tex]
tę strzałkę czytamy jako "wtedy i tylko wtedy gdy".
Do poniższego zadania należy przypomnieć kolejne potęgi liczby 2. Oto one:
[tex]2^1=2\\\\2^2=2\cdot2=4\\\\2^3=2\cdot2\cdot2=8\\\\2^4=2\cdot2\cdot2\cdot2=16\\\\2^5=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=32\\\\2^6=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=64\\\\2^7=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=128\\\\2^8=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=256\\\\2^9=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=512\\\\2^{10}=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=1024[/tex]
Ważniejsze wzory, z których będę korzystać:
[tex](a^m)^n=a^{m\cdot n}[/tex]
[tex]a^{-n}=\frac{1}{a^n} \ (a\neq0)[/tex]
[tex]a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}[/tex]
Jak rozwiązać te zadanie? Moja propozycja:
a)
[tex]\log_2512=x\\\\2^x=512\\\\2^x=2^9\\\\x=9\\\\\boxed{\log_21512=9}[/tex]
b)
[tex]\log_22=x\\\\2^x=2\\\\2^x=2^1\\\\x=1\\\\\boxed{\log_22=1}[/tex]
c)
[tex]\log_2\frac{1}{32}=x\\\\2^x=\frac{1}{32}\\\\2^x=(\frac{1}{2})^5\\\\2^x=2^{-5}\\\\x=-5\\\\\boxed{\log_2\frac{1}{32}=-5}[/tex]
d)
[tex]\log_2\sqrt[5]2=x\\\\2^x=\sqrt[5]2\\\\2^x=2^{\frac{1}{5}}\\\\x=\frac{1}{5}\\\\\boxed{\log_2\sqrt[5]2=\frac{1}{5}}[/tex]
e)
[tex]\log_2\sqrt8=x\\\\2^x=\sqrt8\\\\2^x=\sqrt{2^3}\\\\2^x=2^{\frac{3}{2}}\\\\x=\frac{3}{2}=1,5\\\\\boxed{\log_2\sqrt8=1,5}[/tex]
Korzystamy z definicji logarymu:
Logarytmem liczby b przy podstawie a nazywamy taką liczbę c, że a podniesione do potęgi c daje liczbę b.
Matematycznie zapiszemy tę definicję tak:
[tex]log_{a}b = c \ \ \ to \ \ \ a^{c} = b[/tex]
oraz
Z własności potęgowania:
[tex](a^{m})^{n} = a^{m\cdot n}\\\\\sqrt[n]{a^{m}} = a^{\frac{m}{n}}\\\\a^{-n} = \frac{1}{a^{n}}[/tex]
[tex]a) \ log_{2}512} = log_{2}2^{9} = 9log_{2}2 = \boxed{9}[/tex]
[tex]b) \ log_{2}2 = log_{2}2^{1} = 1log_{2}2 =\boxed{ 1}[/tex]
[tex]c) \ log_{2}\frac{1}{32} = log_{2}\frac{1}{2^{5}} = log_{2}2^{-5} = -5log_{2}2 = \boxed{-5}[/tex]
[tex]d) \ log_{2}\sqrt[5]{2} = log_{2}2^{\frac{1}{5}} = \frac{1}{5}log_{2}2 =\boxed{ \frac{1}{5}}[/tex]
[tex]e) \ log_{2}\sqrt{8} = log_{2}\sqrt{2^{3}} = log_{2}(2^{3})^{\frac{1}{2}} = log_{2}2^{\frac{3}{2}}=\frac{3}{2}}log_{2}2=\frac{3}{2} = 1,5[/tex]