Wzór:
[tex]K=K_0\left(1+\dfrac{p}{100}\right)^n[/tex]
[tex]K[/tex] - kwota końcowa
[tex]K_0[/tex] - kwota początkowa
[tex]p[/tex] - procenty
[tex]n[/tex] - liczba lat
Rozwiązanie:
[tex]K=2K_0[/tex]
[tex]p=5[/tex]
[tex]2K_0=K_0\left(1+\dfrac{5}{100}\right)^n\\2K_0=K_0(1+0,05)^n\\2K_0=K_0\cdot1,05^n\quad|:K_0\\2=1,05^n[/tex]
Logarytm:
[tex]\log_ab=c\quad\iff\quad a^c=b\\a,b > 0\quad a\neq1[/tex]
[tex]a=1,05\\b=2\\c=n[/tex]
[tex]\log_{1,05}2\approx14,2 < 15[/tex]
Odpowiedź: Zainwestowana kwota podwoi się po 15 latach.
Odpowiedź:
Posiadacz akcji podwoi zainwestowaną kwotę po 15 latach.
Szczegółowe wyjaśnienie:
Tak jak w zadaniu mamy przykład zainwestowania w akcje firmy która daje zwrot z inwestycji w wysokości 5% w skali roku i po roku czasu te 5% dolicza się do kapitału, co określamy kapitalizacją odsetek - tak, że w kolejnym roku odsetki są naliczane nie tylko od kapitału początkowego ale również odsetki naliczane są od odsetek.
Identyczne jest zainwestowanie w formie np., lokaty bankowej o oprocentowaniu 5% w skali rocznej i rocznej kapitalizacji odsetek.
Wzór do liczenia jest ten sam:
Kapitał zgromadzony po iluś latach Kn = K * (1 + p/100)^n
gdzie widzimy ułamek p%/100, tym ułamkiem zawsze obliczamy dany % od jakiejś kwoty, K, kapitał początkowy, n - ilość lat inwestycji czy oszczędzania.
W tym równaniu przyjmiemy tylko warunek z treści zadania, ze kapitał zgromadzony po n latach, Kn = 2K, podwójny kapitał początkowy,
to 2K = K * (1 + 5/100)^n /:K to 2 = (100/100 + 5/100)^n to
2 = (105/100)^n to
2 = 1,05^n sprawdzimy teraz naszą inwestycję po np., 10 latach:
prawą stronę naszego równania już podnieśliśmy do potęgi ^10 i stan naszego równania jest: 2 = 1,62889..., - więc podnosimy dalej do wyższej potęgi, aż osiągniemy równość 2 ≅ 2
po 14 latach wychodzi 2 ≅1,979931..., wiadomo, liczba niewymierna,
po 15 latach wychodzi 2 ≅ 2,078928..., a więc wynika, że po 15 latach.
(stawiałem sobie kreseczki za każdą potęgą - a teraz rachunek powtórzę,
by mieć pewność: Wyszło mi to samo: 2 ≅ 2,078928...,
po 15 latach, teraz liczyłem 2 razy, pomyłki nie ma!
to:
Odpowiedź: Posiadacz akcji podwoi zainwestowaną kwotę po 15 latach.
Teraz dopisuję: Są dwie odpowiedzi, wynik potwierdzony - ale jeszcze tak dla orientacji - gdyby nie było kapitalizacji odsetek i zysku procentowego 5% rocznie - to kwota by się podwoiła po 20 latach.