15)
[tex]W(x) =x^{2}+3x+2\\F(x) = ax+b\\H(x) = 2x^{3}+3x^{2}-5x-6\\W(x)\cdot F(x) = H(x)\\a = ?\\b = ?[/tex]
Krok 1. Wymnażamy wielomian W(x) orax F(x).
Skoro iloczyn W(x) · F(x) ma być równy H(x), to poznajemy na początek wartość tego iloczynu.
[tex]W(x) \cdot F(x) = (x^{2}+3x+2)(ax+b) =\\\\=ax^{3}+bx^{2}+3ax^{2}+3bx+2ax+2b=\\\\=ax^{3}+3ax^{2}+bx^{2}+2ax+3bx+2b=\\\\=ax^{3}+(3a+b)x^{2}+(2a+3b)x + 2b[/tex]
Krok 2. Przyrównanie wielomianu H(x) do otrzymanego wyniku iloczynu.
Zgodnie z treścią zadania nasz wielomian H(x) jest równy dokładnie temu, co obliczyliśmy w pierwszym kroku. To pozwoli nam poznać wartości współczynników a oraz b, bo możemy przyrównać do siebie poszczególne fragmenty tych wielomianów, a konkretnie wartości stojące przed x³, przed x², przed x oraz wyrazy wolne.
W wielomianie H(x) przed x³ mamy liczbę 2. W iloczynie przed x³ otrzymaliśmy a. Zatem:
a = 2
W wielomianie H(x) przed x² mamy liczbę 3. W iloczynie przed x² otrzymaliśmy 3a + b. Wartość a już znamy. Zatem:
3a + b = 3
3 · 2 + b = 3
6 + b = 3
b = 3 - 6
b = -3
Dalej już porywnywać nie musimy, bo z dwóch pierwszych porównań otrzymaliśmy, że a = 2, b = -3
Odp. a = 2, b = -3
16)
[tex]W(x) = x^{3}-2x+1\\P(x) = x-4\\r = ?[/tex]
Korzystamy z twierdzenia o reszcie dzielenia wielomianu przez dwumian.
Reszta z dzielenia wielomianu W(x) prze dwumian x - a, jest równa W(a).
Za x podstawiamy 4
[tex]W(4) = 4^{3}-2\cdot4 + 1 = 64 - 8 + 1 =\boxed{57}[/tex]
Odp. Reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian P(x) jest równa 57.
