Zad 1
a)
[tex]K(x) = 2x^3-x^2-18x+9\\0=2x^3-x^2-18x+9\\0=x^2(2x-1)-9(2x-1)\\0=(2x-1)(x^2-9)\\[/tex]
[tex]2x - 1 = 0[/tex] ∨ [tex]x^2 - 9 =0[/tex]
[tex]x=\frac{1}{2}[/tex] ∨ [tex]x = -3[/tex] ∨ [tex]x = 3[/tex] } - - -> miejsca zerowe
Po rozłożeniu na czynniki pierwsze (zapisaniu w postaci iloczynowej):
[tex]K(x) = a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)[/tex]
[tex]K(x)=2(x+3)(x-\frac{1}{2} )(x-3)[/tex]
b)
[tex]L(x)=x^3-5x^2+8x-4\\0=x^3-x^2-4x^2+4x+4x-4\\0=x^2(x-1)-4x(x-1)+4(x-1)\\0=(x-1)(x^2-4x+4)\\0=(x-1)(x-2)^2\\[/tex]
[tex]x-1=0[/tex] ∨ [tex](x-2)^2=0[/tex]
[tex]x=1[/tex] ∨ [tex]x=2[/tex] (2 jest pierwiastkiem dwukrotnym)
Po rozłożeniu na czynniki pierwsze (zapisaniu w postaci iloczynowej):
[tex]L(x)=(x-1)(x-2)^2[/tex]
Zad 2
a)
[tex]2x^3-4x^2-6x=0\\2x(x^2-2x-3)=0\\2x(x^2+x-3x-3)=0\\2x(x(x+1)-3(x+1)=0\\2x(x+1)(x-3)=0\\x(x+1)(x-3)=0\\[/tex]
[tex]x= 0[/tex] ∨ [tex]x+1 = 0[/tex] ∨ [tex]x-3=0[/tex]
[tex]x=0[/tex] ∨ [tex]x=-1[/tex] ∨ [tex]x = 3[/tex]
b)
[tex]x^3-3x^2+3x-1=0\\(x-1)^3=0\\x-1=0\\x=1[/tex]
c)
[tex]x^3+5x^2+3x-9=0\\x^3-x^2+6x^2-6x+9x-9=0\\x^2(x-1)+6x(x-1)+9(x-1)=0\\(x-1)(x^2+6x+9)=0\\(x-1)(x+3)^2=0\\[/tex]
[tex]x-1=0[/tex] ∨ [tex](x+3)^2=0[/tex]
[tex]x=1[/tex] ∨ [tex]x=-3[/tex]
