Odpowiedź:
Szczegółowe wyjaśnienie:
Zad. 1.
Określ dziedzinę funkcji
a) f(x) = (5x + 1)/(6x² - 2x)
Wiemy, ze w matematyce nie ma takiego działania, jak dzielenie przez
0 - ale wiemy, rozwiązując równania, przekształcając wyrażenia, nierówności, że często występują one w postaci ułamków - a kreska ułamkowa zastępuje znak dzielenia.
Dlatego Dziedziną funkcji, Df: musimy wykluczyć wartość 0 z
mianownika.
W tym celu wyznaczymy miejsca zerowe wyrażenia w mianowniku:
Miejsca zerowe wyznaczamy przyrównując mianownik ułamka wyrażenia zera, = 0,
Najlepiej widać wartości zerowe z postaci iloczynowej mianownika, jak mamy równanie kwadratowe to przyrównujemy wyrażenie z mianownika do 0, liczymy, Δ √∆ , x1, x2, wyznaczamy miejsca zerowe. ale nie zawsze, ten przykład nam coś wyjaśni:
f(x) = (5x + 1)/(6x² - 2x) Z mianownika wyłączymy czynnik przed
nawias, to
f(x) = (5x + 1)/2x(3x - 1)
Widzimy, że dla x = 0, wartość mianownika = 0, dla x = 1/3 to 3x = 1 to 3x - 1 = 0
Jeżeli na początki tego nie postrzegamy, to napiszemy sobie warunek wstępny do Dziedziny:
x ≠ 0 i 3x - 1 ≠ 0 to 3x ≠ 1 /: 3 to x ≠ 1/3 to
Dziedzina: Df: x ∈ R \ {0, 1/3}
[Słownie tą formułę Dziedziny wypowiadamy tak: x należy do zbioru liczb rzeczywistych za wyjątkiem zbioru dwuelementowego {0, 1/3} lub x należy do zbioru liczb rzeczywistych minus zbiór dwuelementowy {0, 1/3}; znak " \ " oznacza odejmowanie zbiorów, różnicę zbiorów, znak ten mamy na klawiaturze.]
b) f(x) = √[(3 - (1/2)x]
Często liczymy takie proste przykłady:
np., √4 = 2 bo 2² = 4, √16 = 4 bo 4² = 16 , ∜16 = 2 bo 2⁴ = 16, ...,
2²; ;2⁴; 2⁶; ..., , 2¹⁰ ...,
Ogólnie: Każda liczba podniesiona do potęgi parzystej jest liczbą dodatnią lub 0, to
pierwiastek stopnia parzystego istnieje tylko z liczby dodatniej lub zera
0 - pierwiastek parzystego stopnia z liczby ujemnej nie istnieje!
Dlatego w dziedzinie funkcji musimy wykluczyć ujemną wartość z pierwiastka parzystego stopnia, to
Dziedzina: Df: 3 - (1/2)x ⩾ 0 /*2 to 6 - x ⩾ 0 to - x ⩾ - 6 /*(-1)
to x ⩽ 6 to Df: x ∈ (- ∞, 6⟩
Zad. 2
Oblicz miejsca zerowe funkcji.
f(x) = 25x² - 49
Df: x ∈ R, bo nie mamy tutaj żadnego ograniczenia w wyrażeniu, wzorze funkcji.
Ale Dziedzinę funkcji ustalamy zawsze, czy jest polecenie czy nie, i zawsze na początku działań, przekształceń...,
W tym m przykładzie również nie musimy liczyć Δ,√∆, ...,
Miejsca zerowe są to punkty przecięcia się wykresu funkcji z osią 0x (lub punkt styczności wykresu funkcji z osią 0x) - a to ma miejsce zawsze dla y = f(x) = 0, (Dlatego tak się nazywają: miejsca zerowe).
Dlatego dla wyznaczenia miejsc zerowych zawsze przyrównujemy funkcję f(x) do 0, f(x) = 0.
f(x) = 25x² - 49 = 0 to 25x² = 49 /: 25 to x² = 49/25 to
x1 = - √(49/25) = - 7/5 i x2 = √(49/25) = 7/5
to są wyznaczone miejsca zerowe tej funkcji.
b) f(x) = 9x² - 18x, Dziedzina df: x ∈ R
f(x) = 9x² - 18x = 0 to 9x(x - 2) = 0 to x1 = 0 i x2 = 2,
x1, x2, - miejsca zerowe tej funkcji.
