Odpowiedź :
Aby zbadać monotoniczność ciągu, należy zbadać znak wyrażenia [tex]a_{n+1}-a_n[/tex], gdzie [tex]a_n[/tex] to n-ty wyraz ciągu, a [tex]a_{n+1}[/tex] to (n+1)-szy wyraz ciągu.
Monotoniczność ciągu
Niech będzie dany ciąg [tex]a_n[/tex], gdzie [tex]n\ge1[/tex].
Mówimy, że ciąg jest monotoniczny, jeśli jest rosnący, malejący lub stały.
Ciąg [tex](a_n)[/tex] jest rosnący, jeśli dla wyrazu [tex]a_n[/tex] tego ciągu wyraz [tex]a_{n+1}[/tex] jest większy od niego, tzn. [tex]a_{n+1} > a_n[/tex], czyli [tex]a_{n+1}-a_n > 0[/tex].
Ciąg [tex](a_n)[/tex] jest malejący, jeśli dla wyrazu [tex]a_n[/tex] tego ciągu wyraz [tex]a_{n+1}[/tex] jest mniejszy od niego, tzn. [tex]a_{n+1} < a_n[/tex], czyli [tex]a_{n+1}-a_n < 0[/tex].
Ciąg [tex](a_n)[/tex] jest stały, jeśli wszystkie wyrazy tego ciągu są sobie równe.
Do ciągów monotonicznych zaliczamy także ciągi nierosnące i niemalejące.
Ciąg nierosnący to taki, w którym każdy następny wyraz jest mniejszy lub równy poprzedniemu, czyli [tex]a_{n+1}\ge a_n[/tex], [tex]a_{n+1}-a_n\ge0[/tex].
Ciąg niemalejący to taki, w którym każdy następny wyraz jest większy lub równy poprzedniemu, czyli [tex]a_{n+1}\le a_n[/tex], [tex]a_{n+1}-a_n\le0[/tex].
Jeśli mamy ciąg [tex](a_n)[/tex] określony pewnym wzorem, badanie monotoniczności zaczynamy od znalezienia n-tego i (n+1)-go wyrazu. Wyznaczamy później różnicę [tex]a_{n+1}-a_n[/tex] i sprawdzamy, jaki jest znak tej różnicy, tzn. czy jest ona dodatnia, czy ujemna. Wtedy zgodnie z podanymi definicjami powyżej określamy monotoniczność ciągu.
W taki sposób badamy monotoniczność ciągu od n-tego miejsca ciągu, dowolnie określonego.
