Środkowa trójkąta jest to odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku.
Obliczamy współrzędne środków boków AB, AC i BC korzystając ze wzoru:
[tex]A(x_A,\ y_A),\ B(x_B,\ y_B)\\\\S_{AB}\left(\dfrac{x_A+x_B}{2},\ \dfrac{y_A+y_B}{2}\right)[/tex]
Podstawiamy współrzędne punktów:
[tex]A(1,\ -2),\ B(-1,\ 6)\\\\S_{AB}\left(\dfrac{1+(-1)}{2},\ \dfrac{-2+6}{2}\right)\\\\\boxed{S_{AB}(0,\ 2)}\\\\A(1,\ -2),\ C(-3,\ 2)\\\\S_{AC}\left(\dfrac{1+(-3)}{2},\ \dfrac{-2+2}{2}\right)\\\\\boxed{S_{AC}(-1,\ 0)}\\\\B(-1,\ 6),\ C(-3,\ 2)\\\\S_{BC}\left(\dfrac{-1+(-3)}{2},\ \dfrac{6+2}{2}\right)\\\\\boxed{S_{BC}(-2,\ 4)}[/tex]
Obliczamy długości środkowych korzystając ze wzoru:
[tex]|AB|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}[/tex]
Mamy środkowe:
[tex]AS_{BC}=AP,\ BS_{AC}=BQ,\ CS_{AB}=CR[/tex]
Podstawiamy współrzędne punktów i obliczamy długości środkowych:
[tex]|AS_{BC}|=\sqrt{(-2-1)^2+(4-(-2))^2}=\sqrt{(-3)^2+6^2}=\sqrt{9+36}=\sqrt{45}\\\\|BS_{AC}|=\sqrt{(-1-(-1))^2+(0-6)^2}=\sqrt{0^2+(-6)^2}=\sqrt{36}\\\\|CS_{AB}|=\sqrt{(0-(-3))^2+(2-2)^2}=\sqrt{3^2+0^2}=\sqrt9[/tex]
Porównujemy:
[tex]\sqrt{45} > \sqrt{36} > \sqrt9\Rightarrow|AS_{BC}| > |BS_{AC}| > |CS_{AB}|[/tex]
Najdłuższą środkową jest środkowa [tex]|AS_{BC}|[/tex] o długości [tex]\sqrt{45}=\sqrt{9\cdot5}=\sqrt9\cdot\sqrt5=3\sqrt5[/tex]