Skorzystamy ze wzorów redukcyjnych:
[tex]\sin(90^o-\alpha)=\cos\alpha\\\\\cos(90^o-\alpha)=\sin\alpha\\\\ \text{tg}(90^o-\alpha)= \text{ctg}\alpha\\\\ \text{ctg}(90^o-\alpha)= \text{tg}\alpha[/tex]
oraz z tożsamości trygonometrycznych:
[tex]\text{tg}\alpha\cdot \text{ctg}\alpha=1\\\\\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\\\\\text{tg}\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\\\\\text{ctg}\alpha=\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}[/tex]
[tex]b)\ \text{ctg}30^o\cdot\text{ctg}40^o\cdot\text{ctg}50^o= \text{ctg}30^o\cdot \text{ctg}(90^o-50^o)\cdot \text{ctg}50^o\\\\= \text{ctg}30^o\cdot \text{tg}50^o\cdot \text{ctg}50^o= \text{ctg}30^o\cdot1= \text{ctg}30^o=\boxed{\sqrt3}[/tex]
[tex]c)\ \text{tg}15^o\cdot\text{tg}60^o\cdot\text{tg}75^o=\text{tg}(90^o-75^o)\cdot\text{tg}60^o\cdot\text{tg}75^o\\\\=\text{ctg}75^o\cdot\text{tg}60^o\cdot\text{tg}75^o=\text{tg}60^o\cdot1=\text{tg}60^o=\boxed{\sqrt3}[/tex]
[tex]d)\ \sin^220^o+\sin^240^o+\sin^250^o+\sin^270^o\\\\=\sin^2(90^o-70^o)+\sin^2(90^o-50^o)+\sin^250^o+\sin^270^o\\\\=\cos^270^o+\cos^250^o+\sin^250^o+\sin^270^o\\\\=(\sin^250^o+\cos^250^o)+(\sin^270^o+\cos^270^o)=1+1=\boxed{2}[/tex]
[tex]e)\ \text{tg}^21^o\cdot\cos^21^o+\text{ctg}^21^o\cdot\sin^21^o=\dfrac{\sin^21^o}{\cos^21^o}\cdot\cos^21^o+\dfrac{\cos^21^o}{\sin^21^o}\cdot\sin^21^o\\\\=\sin^21^o+\cos^21^o=\boxed{1}[/tex]
Wartości
[tex]\text{tg}60^o=\sqrt3\\\\\text{ctg}30^o=\sqrt3[/tex]
odczytujemy z tabeli wartości funkcji trygonometrycznych.