Odpowiedź :
Odpowiedź:
Szczegółowe wyjaśnienie:
Ilustracja graficzna - załącznik)
Mamy funkcję kwadratową daną równaniem f(x) = y = x² - 3
Wykresem funkcji kwadratowej, na płaszczyźnie w układzie
współrzędnych 0xy jest parabola.
Współczynnik liczbowy przy x², y = x² - 3 = ax² - 3, a = 1 > 0, a to
oznacza, że parabola jest skierowana gałęziami do góry.
Miejscami zerowymi funkcji są punkty przecięcia się wykresu funkcji z
osią 0x - ma to miejsce gdy y = 0, więc by wyznaczyć miejsca zerowe,
należy równanie funkcji przyrównać do zera, 0, (dlatego nazywamy te
punkty miejscami zerowymi) to
y = x² - 3 = 0 to x² = 3 to x1 = - √3 lub x2 = √3, sprawdzenie:
Podstawiając rozwiązania do równania sprawdzamy:
Lewa strona równania L = x² - 3 = (- √3)² - 3 = (-)*(-)√9 - 3 = 3 - 3 = 0,
P = 0 to L = P, co należało sprawdzić; identycznie mamy
podstawiając x = √3.
Każda parabola ma pionową oś symetrii - oś symetrii paraboli przechodzi przez środek odcinka wyznaczonego przez miejsca zerowe na osi 0x,
jest to odcinek o końcach x = - √3 i x = √3.
Środek odcinka jest równo oddalony od końców odcinka - więc nie
potrzeba gotowych wzorów, by widzieć, zauważyć, że środkiem tego
odcinka jest punkt x = 0, jest to również, jednocześnie równanie osi
0y - więc - osią symetrii tej paraboli jest oś 0y.
Oś symetrii paraboli przechodzi przez wierzchołek paraboli - to
podstawiając x = 0 do równania: y = x² - 3 mamy y = - 3, mamy
więc współrzędne wierzchołka paraboli W(x, y) = W(0, -3).
Spojrzymy jeszcze inaczej:
Gdyby funkcja miała równanie y = x², to osią symetrii by była również oś 0y a wierzchołek miałby współrzędne W(x, y) = W(0, 0) = 0(0, 0) (początek układu współrzędnych).
Ale funkcja ma równanie y = x² - 3, a to oznacza, że w porównaniu do
równania y = x², cały wykres paraboli został przesunięty o 3 jednostki do dołu, dlatego W(x, y) = W(0, -3).
Charakterystykę nawet takiej prostej paraboli można dalej poszerzać, szczególnie wprost z wykresu można z łatwością "czytać":
np., monotoniczność funkcji:
funkcja f(x) ╲ malejąca dla x ∈ (− ∞, 0),
funkcja f(x) ╱ rosnąca dla x ∈ (0, + ∞),
to w punkcie x = 0 f(x) ma ekstremum ╲ ╱ = f minimum = f(0) = - 3
Do narysowania, wykreślenia paraboli wyznaczymy współrzędne punktów, pary (x, y), przez które przechodzi wykres, podstawiając za x kolejne współrzędne do równania: y = x² - 3.
(x, y) = (0, -3), (∓1, -2), (∓√3, 0),m. zerowe, (∓2, 1), (∓3, 6), (∓4, 13),
Funkcja f(x) = y = - x² + 4x - 3 = 0
(= 0, bo wyznaczamy miejsca zerowe),
dla pełnej analizy musimy w tym przypadku oprzeć się też na równaniu w
postaci ogólnej i iloczynowej: f(x) = y = ax² + bx + c = a(x - x1)(x - x2),
wyróżnik równania Δ = b² - 4ac = 16 - 4(-1)(-3) = 16 - 12 = 4, √∆ = 2,
x1 = (- b -√∆)/2a = (- 4 - 2)/(-2) = 3; x2 = (- b +√∆)/2a = (- 4 +2 )/(-2) = 1;
x1 = 3, x2 = 1 są rozwiązaniami tego równania
i jednocześnie miejscami zerowymi funkcji, to postać iloczynowa:
y = a(x - x1)(x - x2) = (x - 3)(x - 1) = 0,
z postaci iloczynowej "czytamy" miejsca zerowe funkcji.
Sprawdzenie rozwiązania:
Podstawiając jedno czy drugie rozwiązanie równania do postaci iloczynowej, widzimy, że "zeruje" nam się wartość w nawiasie a więc iloczyn jest równy 0, co jest sprawdzeniem rozwiązań równania.
Współczynnik liczbowy przy x², a = - 1 < 0, a to oznacza, że
parabola jest skierowana gałęziami do dołu i to jest zasadnicza różnica
między tymi parabolami,
Oś symetrii paraboli przechodzi przez środek odcinka wyznaczonego przez miejsca zerowe na osi 0x,
jest to odcinek o końcach x = 1 i x = 3,
to środkiem odcinka punkt x = 2, jest to również, jednocześnie
równanie pionowej osi symetrii paraboli.
Oś symetrii paraboli przechodzi przez wierzchołek paraboli - to
podstawiając x = 2 do równania: f(2) = y = - x² + 4x - 3 = - 4 + 4*2 - 3 = 1
to y = 1, mamy współrzędne wierzchołka paraboli W(x, y) = W(2, 1).
W wierzchołku funkcja osiąga również wartość największą:
f(x) ekstremum = f max = f(2) = 1.
Z wykresu możemy wprost "czyać"np., monotoniczność funkcji:
funkcja f(x) ╱ rosnąca dla x ∈(− ∞, 2),
funkcja f(x) ╲ malejąca dla x ∈ (2, + ∞),
to w punkcie x = 2, f(x) ma ekstremum ╱ ╲ = f max = f(2) = 1
Do narysowania, wykreślenia paraboli wyznaczymy współrzędne punktów, pary (x, y), przez które przechodzi wykres, podstawiając za x
kolejne współrzędne do równania : y = - x² + 4x - 3
(x, y) = (2, 1), (1, 0),m. zerowe(2, 1), max(3, 0),m. zerowe(4, -3), (5, -8)
Sprawdzimy jeszcze, czy funkcje mają punkty wspólne, czy wykresy się przecinają:, należy przyrównać równania obu funkcji:
- x² + 4x - 3 = x² - 3 to
- 2 x² + 4x = 0 /:(-2) to
x² - 2x = 0 to x(x - 2) = 0 to x1 = 0, x2 = 2 i y = x² - 3 to
punkty przecięcia się wykresów funkcji: (0, -3), (2, 1)
