Równania kwadratowe. Wzory skróconego mnożenia.
Odp:
[tex]\huge\boxed{a)\ x=-2}\\\boxed{b)\ x=\frac{1}{2}}\\\boxed{c)\ x=-\frac{1}{2}}\\\boxed{d)\ x=\frac{3}{2}}\\\boxed{e)\ x=2}\\\boxed{f)\ x=\frac{3\sqrt2}{2}}[/tex]
ROZWIĄZANIA:
Możemy zauważyć, że w każdym przykładzie mamy rozwinięcie jednego ze wzorów skróconego mnożenia:
[tex](a+b)^2=a^2+2ab+b^2\qquad(1)\\\\(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\qquad(2)[/tex]
Musimy lewe stromy równania zwinąć korzystając z jednego z nich.
Otrzymamy wówczas równość postaci kwadrat czegoś równe 0.
Wiemy, że tylko kwadrat liczby 0 daje nam 0. Wnioskujemy więc, że wyrażenie, którego kwadrat mamy, ma być równe 0.
[tex]a)\ x^2+8x+16=0\\\\x^2+2\cdot x\cdot4+4^2=0\qquad(1)\\\\(x+2)^2=0\iff x+2=0\qquad|-2\\\\\huge\boxed{x=-2}[/tex]
[tex]b)\ x^2-x+\dfrac{1}{4}=0\\\\x^2-2\cdot x\cdot\dfrac{1}{2}+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=0\qquad(2)\\\\\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2=0\iff x-\dfrac{1}{2}=0\qquad|+\dfrac{1}{2}\\\\\huge\boxed{x=\dfrac{1}{2}}[/tex]
[tex]c)\ 4x^2+4x+1=0\\\\(2x)^2+2\cdot2x\cdot1+1^2=0\qquad(1)\\\\(2x+1)^2=0\iff2x+1=0\qquad|-1\\\\2x=-1\qquad|:2\\\\\huge\boxed{x=-\dfrac{1}{2}}[/tex]
[tex]d)\ 4x^2-12x+9=0\\\\(2x)^2-2\cdot2x\cdot3+3^2=0\qquad(2)\\\\(2x-3)^2=0\iff2x-3=0\qquad|+3\\\\2x=3\qquad|:2\\\\\huge\boxed{x=\dfrac{3}{2}}[/tex]
[tex]e)\ \dfrac{1}{4}x^2+\dfrac{1}{2}=x-\dfrac{1}{2}\qquad|-x+\dfrac{1}{2}\\\\\dfrac{1}{4}x^2-x+1=0\\\\\left(\dfrac{1}{2}x\right)^2-2\cdot\dfrac{1}{2}x\cdot1+1^2=0\qquad(2)\\\\\left(\dfrac{1}{2}x-1\right)^2=0\iff\dfrac{1}{2}x-1=0\qquad|+1\\\\\dfrac{1}{2}x=1\qquad|\cdot2\\\\\huge\boxed{x=2}[/tex]
[tex]f)\ 3x^2+9=x^2-6\sqrt2x\qquad|-x^2+6\sqrt2x\\\\2x^2+6\sqrt2x+9\\\\(\sqrt2x)^2+2\cdot\sqrt2x\cdot3+3^2=0\qquad(1)\\\\(\sqrt2x+3)^2=0\iff\sqrt2x+3=0\qquad|-3\\\\\sqrt2x=-3\qquad|\cdot\sqrt2\\\\2x=3\sqrt2\qquad|:2\\\\\huge\boxed{x=\dfrac{3\sqrt2}{2}}[/tex]
Wiemy, że:
Do obu stron równania możemy dodać (od obu odjąć) to samo wyrażenie otrzymując w ten sposób równanie równoważne.
Obie strony równania możemy pomnożyć/podzielić przez tą samą liczbę różną od zera otrzymując równanie równoważne.
Równania równoważne, to równania mające ten sam zbiór rozwiązań.
