Zad. 16
Juz na rysunku widac, ze przetna sie po lewej stronie osi OY na bardziej ujemnych argumentach, ale sprawdzmy przez obliczenia.
Wyznaczamy wzor paraboli czerwonej:
[tex]W_1(4, -2)\\x_1=0\\x_2=8\\a(x-4)^2-2=a(x-0)(x-8)\\a(x-4)^2-2=ax(x-8)\\a(x^2-8x+16)-2=ax(x-8)\\ax^2-8ax+16a-2=ax^2-8ax\\16a-2=0 /+2\\16a=2 /:16\\a=\frac2{16}=\frac{1}8\\f(x)=\frac18(x-4)^2-2\\f(x)=\frac18(x^2-8x+16)-2\\f(x)=\frac18x^2-x+2-2\\f(x)=\frac18x^2-x[/tex]
Wyznaczamy wzor paraboli czarnej
[tex]W_2(2, 3)\\g(0)=3.5\\c=3.5\\a(0-2)^2+3=3.5 /-3\\a(-2)^2=\frac12\\4a=\frac12 /*\frac14\\a=\frac18\\g(x)=\frac18(x-2)^2+3\\g(x)=\frac18(x^2-4x+4)+3\\g(x)=\frac18x^2-\frac12x+\frac12+\frac62\\g(x)=\frac18x^2-\frac12x+\frac72[/tex]
Wyznaczamy miejsce przeciecia.
[tex]\left \{ {{y=\frac18x^2-x} \atop {y=\frac18x^2-\frac12x+\frac72}} \right. \\\frac18x^2-x=\frac18x^2-\frac12x+\frac72\\-x+\frac12x=\frac72\\-\frac12x=\frac72 /*(-2)\\x=-7\\y=\frac18*(-7)^2-(-7)=\frac18*49+7=\frac{49}8+\frac{56}8=\frac{105}8\\P(-7, \frac{105}8)[/tex]
[tex]\fbox{Tak, parabole przecinaja sie}[/tex]
Zad. 17
a)
[tex]W(7, -9)\\A(3, y)\\B(11, y)[/tex]
[tex]\text{Wyznaczamy postac kanoniczna funkcji: } y=a(x-7)^2-9\\\text{Nastepnie podstawiamy pod nia wspolrzedne punktow: }\\y=a(3-7)^2-9\\y=a(11-7)^2-9\\\text{I przyrownujemy do siebie}\\a(3-7)^2-9=a(11-7)^2-9\\a*(-4)^2-9=a*4^2-9\\16a-9=16a-9\\L = P\\\fbox{Drugie wspolrzedne tych punktow sa takie same}[/tex]
b)
[tex]W(p, q)\\A(p-r, y)\\B(p+r, y)\\\text{Postepujemy jak w poprzednim przykladzie: }\\y=a(x-p)^2+q\\y=a(p-r-p)^2+q\\y=a(p+r-p)^2+q\\a(p-r-p)^2+q=a(p+r-p)^2+q\\a(-r)^2+q=a*r^2+q\\ar^2+q=ar^2+q\\L=P\\\fbox{\text{Drugie wspolrzedne tych punktow sa takie same}}[/tex]
c)
[tex]W(p, q)\\A(x_A, y)\\B(x_B, y)\\\\\\\text{Wspolrzedna p odcinka, to jednoczesnie os symetrii paraboli, czyli rowniez}\\\text{Symetralna odcinka o koncach w punktach }A(x_A, y), B(x_B, y)[/tex]
[tex]\text{Korzystajac ze wzoru na srodek odcinka stwierdzamy, ze symetralna przechodzi}\\\text{przez punkt o wspolrzednych } (\frac{x_A+x_B}2, y) \text{ oraz przez wierzcholek paraboli}\\p=\frac{x_A+x_B}2[/tex]
Zad. 18
Jezeli kwadrat ograniczony jest osia OX i parabola, a dwa wierzcholki leza jednoczesnie na osi OX i paraboli, to te wierzcholki sa miejscami zerowymi paraboli.
Dlugosc boku kwadratu to odleglosc miedzy miejscami zerowymi.
[tex]a)\\y=-x^2+3\\-x^2+3=0\\-x^2=-3 /*(-1)\\x^2=3\\x=-\sqrt3 \text{ v } x=\sqrt3[/tex]
[tex]A(-\sqrt3, 0)\\B(\sqrt3, 0)\\a=|AB|=\sqrt{(\sqrt3+\sqrt3)^2+(0-0)^2}=\sqrt{(2\sqrt3)^2}=\sqrt{12}=2\sqrt3[/tex]
[tex]P=a^2=(2\sqrt3)^2=4*3=12j^2[/tex]
[tex]b)\\\\y=x^2-8\\x^2-8=0\\x^2=8\\x=-\sqrt8 \text{ v } x=\sqrt8\\x=-2\sqrt2 \text{ v } x=2\sqrt2\\\\A(-2\sqrt2, 0)\\B(2\sqrt2, 0)\\\\a=|AB|=\sqrt{(2\sqrt2+2\sqrt2)^2}=\sqrt{(4\sqrt2)^2}=4\sqrt2\\P=a^2=(4\sqrt2)^2=32j^2[/tex]
[tex]c)\\y=-\frac12x^2+2\frac12\\-\frac12x^2+2\frac12=0\\-\frac12x^2=-2\frac12 \\-\frac12x^2=-\frac52 /*(-2)\\x^2=5\\x=-\sqrt5 \text{ v } x=5\\A(-\sqrt5, 0)\\B(\sqrt5, 0)\\a=|AB|=\sqrt{(\sqrt5+\sqrt5)^2}=\sqrt{(2\sqrt5)^2}=2\sqrt5\\P=a^2=(2\sqrt5)^2=4*5=20j^2[/tex]
