Dane na rysunku.
Wewnątrz gwiazdy powstał pięciokąt. Suma miar jego kątów wewnętrznych wynosi 540°.
[tex]\alpha+\beta+\gamma+\delta+\varepsilon=540^\circ[/tex]
Wierzchołki tworzą z bokami pięciokąta trójkąty. Suma miar kątów wewnętrznych trójkąta wynosi 180°.
Miara kąta przy wierzchołku A.
[tex]\varphi+180^\circ-\gamma+180^\circ-\delta=180^\circ\\\varphi=\gamma+\delta-180^\circ[/tex]
Miara kąta przy wierzchołku B.
[tex]\psi+180^\circ-\delta+180^\circ-\varepsilon=180^\circ\\\psi=\delta+\varepsilon-180^\circ[/tex]
Miara kąta przy wierzchołku C.
[tex]\lambda+180^\circ-\varepsilon+180^\circ-\alpha=180^\circ\\\lambda=\varepsilon+\alpha-180^\circ[/tex]
Miara kąta przy wierzchołku D.
[tex]\omega+180^\circ-\alpha+180^\circ-\beta=180^\circ\\\omega=\alpha+\beta-180^\circ[/tex]
Miara kąta przy wierzchołku E.
[tex]\tau+180^\circ-\beta+180^\circ-\gamma=180^\circ\\\tau=\beta+\gamma-180^\circ[/tex]
Suma kątów przy wierzchołkach gwiazdy.
[tex]\varphi+\psi+\lambda+\omega+\tau=(\gamma+\delta-180^\circ)+(\delta+\varepsilon-180^\circ)+(\varepsilon+\alpha-180^\circ)+\\+(\alpha+\beta-180^\circ)+(\beta+\gamma-180^\circ)=2\alpha+2\beta+2\gamma+2\delta+2\varepsilon-900^\circ=\\=2(\alpha+\beta+\gamma+\delta+\varepsilon)-900^\circ=2\cdot540^\circ-900^\circ=1080^\circ-900^\circ=180^\circ[/tex]
Odpowiedź:
180°
