Odpowiedź :
Miary pozostałych kątów trójkąta wynoszą [tex]23^o[/tex] i [tex]27^o[/tex]. Bok AB ma długość 5,93. Długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie wynosi 6,53.
Twierdzenie sinusów
Twierdzenie sinusów jest spełnione w każdym trójkącie. Jest związane z zależnościami między długościami boków i kątami w trójkącie.
Jeśli w trójkącie ABC oznaczymy kąt przy wierzchołku A jako [tex]\alpha[/tex] i bok naprzeciw niego jako a, kąt przy wierzchołku B jako [tex]\beta[/tex] i bok naprzeciw niego jako b oraz kąt przy wierzchołku C jako [tex]\gamma[/tex] i bok naprzeciw niego jako c, możemy zapisać treść twierdzenia następująco:
W dowolnym trójkącie stosunek długości dowolnego boku do sinusa kąta naprzeciw niego jest stały i równy długości średnicy okręgu opisanego na tym trójkącie, tzn.:
[tex]\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R[/tex],
gdzie R - promień okręgu opisanego na trójkącie.
Ponadto w zadaniu przyda nam się wzór dla kąta [tex]\alpha\in(0^o,90^o)[/tex]:
[tex]\sin(180^o-\alpha)=\sin\alpha[/tex].
Przyjmijmy w zadaniu oznaczenia, jak w opisie twierdzenia. W trójkącie ABC mamy dane: [tex]\alpha=130^o,|BC|=10,|AC|=5[/tex]. Miary pozostałych kątów, długość boku AB oraz promień okręgu opisanego na tym trójkącie obliczymy, korzystając z twierdzenia sinusów oraz tabeli wartości trygonometrycznych.
Miarę kąta [tex]\beta[/tex] (kąta ABC) policzymy, korzystając z równości:
[tex]\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}\\\frac{|BC|}{\sin130^o}=\frac{|AC|}{\sin\beta}[/tex]
Policzymy wartość [tex]\sin130^o[/tex], korzystając ze wzoru podanego powyżej:
[tex]\sin130^o=\sin(180^o-50^o)=\sin50^o[/tex].
Wartość [tex]\sin50^o[/tex] odczytujemy z tabeli wartości trygonometrycznych. Mamy: [tex]\sin50^o=0,766[/tex]. Podstawimy tę wartość do naszego równania:
[tex]\frac{|BC|}{\sin50^o}=\frac{|AC|}{\sin\beta}\\\frac{10}{0,766}=\frac5{\sin\beta}/*0,766\\10=\frac{5*0,766}{\sin\beta}/*\sin\beta\\10\sin\beta=3,83/:10\\\sin\beta=0,383[/tex]
Z tabeli wartości trygonometrycznych odczytujemy, że dla [tex]\sin\beta=0,383= > \beta\approx23^o[/tex].
Możemy teraz policzyć miarę kąta [tex]\gamma[/tex]:
[tex]\gamma=180^o-130^o-23^o=50^o-23^o=27^o[/tex].
Znowu skorzystamy z twierdzenia sinusów, aby policzyć długość boku AB. Mamy:
[tex]\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{c}{\sin\gamma}\\\frac{|BC|}{\sin130^o}=\frac{|AB|}{\sin27^o}\\\frac{|BC|}{\sin50^o}=\frac{|AB|}{\sin27^o}[/tex]
Z tabeli wartości trygonometrycznych odczytujemy [tex]\sin27^o=0,454[/tex]. Mamy dalej:
[tex]\frac{10}{0,766}=\frac{|AB|}{0,454}/*0,766\\10=\frac{0,766*|AB|}{0,454}/*0,454\\0,766*|AB|=10*0,454\\0,766*|AB|=4,54/:0,766\\|AB|\approx5,93[/tex]
Długość boku AB wynosi 5,93.
Również z twierdzenia sinusów policzymy długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie:
[tex]\frac{a}{\sin\alpha}=2R\\\frac{|BC|}{\sin130^o}=2R/:2\\R=\frac{|BC|}{2\sin130^o}=\frac{|BC|}{2\sin50^o}=\frac{10}{2*0,766}=\frac5{0,766}\approx6,53[/tex]
Długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie wynosi 6,53.
