Odp: Funkcja f(x) ma dokładnie dwa miejsca zerowe
dla m ∈ {0} ∪ (2, ∞) → D.
ROZWIĄZANIE:
Miejsce zerowe funkcji jest to argument (x), dla którego funkcja przyjmuje wartość 0.
Definicja wartości bezwzględnej:
[tex]|a|=\left\{\begin{array}{ccc}a&\text{dla}&\ a\geq0\\-a&\text{dla}&a < 0\end{array}\right[/tex]
Przyrównujemy wzór danej funkcji do 0.
[tex]f(x)=\left||x-1|-2\right|-m,\ x\in\mathbb{R}\\\\f(x)=0\iff||x-1|-2|-m=0\qquad|+m\\\\||x-1|-2|=m[/tex]
Wiemy, że |a| ≥ 0. Zatem, aby to równanie miało rozwiązanie wartość parametru m musi być nieujemna.
Rozpatrzmy dwa przypadki:
- m = 0
- m > 0
1. m = 0
Wówczas:
[tex]||x-1|-2|=0\iff|x-1|-2=0\qquad|+2\\\\|x-1|=2\iff x-1=2\ \vee\ x-1=-2\qquad|+1\\\\x=3\ \vee\ x=-1[/tex]
Otrzymujemy dwa miejsca zerowe.
2. m > 0
Wówczas:
[tex]||x-1|-2|=m\iff|x-1|-2=m\ \vee\ |x-1|-2=-m\qquad|+2\\\\|x-1|=m+2\ \vee\ |x-1|=2-m[/tex]
Teraz, aby funkcja miała tylko dwa miejsca zerowe, to oba równania mają mieć tylko po jednym pierwiastku (1) lub jedno równanie dwa, a drugie równanie byłoby równaniem sprzecznym (2).
Równanie z wartością bezwzględną jest sprzeczne, gdy wartość bezwzględna jest przyrównana do liczby ujemnej.
(1)
Równanie z wartością bezwzględną ma jedno rozwiązanie, gdy wartość bezwzględna jest przyrównana do 0. Stąd:
[tex]|x-1|=0\iff m+2=0\ \wedge\ 2-m=0\\\\m=-2\ \wedge\ m=2[/tex]
Wystąpiła sprzeczność. Czyli nie ma takiej możliwości.
(2)
- pierwsze równanie ma dwa rozwiązania, a drugie jest sprzeczne:
[tex]m+2 > 0\ \wedge\ 2-m < 0\\\\m > -2\ \wedge\ m > 2[/tex]
Mamy rozwiązanie.
[tex]\boxed{m > 2}[/tex]
- drugie równanie ma dwa rozwiązania, a pierwsze jest sprzeczne:
[tex]m+2 < 0\ \wedge\ 2-m > 0\\\\m < -2\ \wedge\ m < 2[/tex]
Otrzymujemy, że m < -2, co daje sprzeczność z założeniem, że m > 0.
Stąd ostatecznie mamy:
[tex]\huge\boxed{m=0\ \vee\ m > 2}[/tex]
