Promień tego okręgu wynosi 13.
Rysunek pomocniczy znajduje się w załączniku.
Jak obliczyć promień okręgu?
Spójrzmy na rysunek. Aby wyznaczyć długość boku |AS| zastosujemy wzór na odległość punktu [tex]P(x_{0}, y_{0})[/tex] od prostej w postaci ogólnej:
Ax + By + C = 0:
[tex]d_{P,k} = \frac{|A*x_{0}+B*y_{0}+C| }{\sqrt{A^{2}+B^{2}} }[/tex]
gdzie:
A - współczynnik stojący przy zmiennej x,
B - współczynnik stojący przy zmiennej y,
C - wyraz wolny,
[tex]x_{0}, y_{0}[/tex] - współrzędne punktu.
Podstawmy nasze dane do wzoru (punkt S(2, -1), prosta: 4x - 3y + 14 = 0):
[tex]|AS| = \frac{|A*x_{0}+B*y_{0}+C| }{\sqrt{A^{2}+B^{2}} }=\frac{|4*2+(-3)*(-1)+14| }{\sqrt{4^{2}+3^{2}} } = \frac{|8+3+14| }{\sqrt{25} } =\frac{25}{5}=5[/tex]
Bok |AS| ma długość 5 i pada na prostą 4x - 3y + 14 = 0 pod kątem prostym.
Wróćmy do rysunku. Zauważmy, że punkt A dzieli cięciwę na dwie takie same części. Długość cięciwy to 24, a więc połowa z tej długości to 12. Dlatego bok |AB| ma długość 12.
Mamy już wszystkie dane potrzebne do policzenia promienia. Trójkąt ASB jest prostokątny, ponieważ licząc odległość punktu od prostej, ta długość pada na prostą pod kątem prostym. Zastosujemy tutaj twierdzenie Pitagorasa:
|AB|²+ | AS|² = r²
12² + 5² = r²
144 + 25 = r²
r² = 169
r = 13
Promień tego okręgu wynosi 13.
