Odpowiedź :
Zadanie 1
a) W(x) = x([tex]x^{3} + 27[/tex])
b) W(x) = [tex]x^{2}[/tex] ( [tex]x^{3} - 8[/tex] )
c) W(x) = [tex]x^{2}[/tex] ( -[tex]x^{2}[/tex] + 64)
d) W(X) = [tex]x^{2}[/tex]( [tex]-\frac{1}{8} x^{3}[/tex] + 64)
e) W(x) = [tex]x^{3}[/tex] (27 [tex]x^{3}[/tex] + 8)
f) W(x) = [tex]x^{5}[/tex] (125 [tex]x^{3}[/tex] - 1)
Zadanie 2
a) W(x) = (x+2)( [tex]x^{3}[/tex] - 8)
b) W(x) = (2x-1) (7[tex]x^{2}[/tex] + 2)
c) W(x) = (x - 3)( 2[tex]x^{2}[/tex] + 5)
Rozkładanie wielomianów na czynniki
Rozkładanie wielomianu na czynniki polega na zapisaniu jego wzoru w postaci iloczynów (mnożenia).
Takie działanie można wykonać przez wyciągnięcie największego wspólnego czynnika przed nawias.
Korzystamy z własności potęg: [tex]a^{m} * a^{n} = a^{m+n}[/tex]
Pamiętajmy, że minus razy minus daje plus, a plus razy minus daje minus.
Zadanie 1
a)
W(x) = [tex]x^{4} + 27x[/tex]
Wyciągamy x przed nawias (zabieramy jeden x z każdego czynnika wielomianu)
W(x) = x([tex]x^{3} + 27[/tex])
b)
W(x) = [tex]x^{5} - 8x^{2}[/tex]
Wyciągamy przed nawias [tex]x^{2}[/tex]
W(x) = [tex]x^{2}[/tex] ( [tex]x^{3} - 8[/tex] )
c)
W(x) = -[tex]x^{4}[/tex] - 64[tex]x^{2}[/tex]
Wyciągamy przed nawias [tex]x^{2}[/tex]
W(x) = [tex]x^{2}[/tex] ( -[tex]x^{2}[/tex] + 64)
d)
W(x) = [tex]-\frac{1}{8} x^{5}[/tex] + 64 [tex]x^{2}[/tex]
Wyciągamy przed nawias [tex]x^{2}[/tex]
W(X) = [tex]x^{2}[/tex]( [tex]-\frac{1}{8} x^{3}[/tex] + 64)
e)
W(x) = 27[tex]x^{6}[/tex] +8 [tex]x^{3}[/tex]
Wyciągamy przed nawias [tex]x^{3}[/tex]
W(x) = [tex]x^{3}[/tex] (27 [tex]x^{3}[/tex] + 8)
f)
W(x) = 125[tex]x^{8}[/tex] - [tex]x^{5}[/tex]
Wyciągamy przed nawias [tex]x^{5}[/tex]
W(x) = [tex]x^{5}[/tex] (125 [tex]x^{3}[/tex] - 1)
Zadanie 2
Rozkład wielomianów za pomocą grupowania wykonuje się wyciągając wspólny czynnik przed nawias na przykład dla dwóch pierwszych wyrazów oraz dla dwóch ostatnich.
a)
W(x) = [tex]x^{4}[/tex] + 2[tex]x^{3}[/tex] - 8x - 16
W(x) = [tex]x^{3}[/tex] (x+2) -8 (x +2)
W(x) = (x+2)( [tex]x^{3}[/tex] - 8)
Dla pierwszych dwóch wyrazów wyciągamy przed nawias [tex]x^{3}[/tex], a dla dwóch następnych (-8). W powstałym wielomianie wyciągamy kolejny wspólny czynnik przed nawias jakim jest (x+2)
b)
W(x) = 14[tex]x^{3}[/tex] - 7[tex]x^{2}[/tex] + 4x -2
W(x) = 7[tex]x^{2}[/tex] (2x - 1) + 2(2x - 1 )
W(x) = (2x-1) (7[tex]x^{2}[/tex] + 2)
Wspólnym czynnikiem dla pierwszych dwóch wyrazów jest 7[tex]x^{2}[/tex] , a dla następnych dwóch 2. Następnie wyciągamy przed nawias wyrażenie (2x-1)
c)
W(x) = 2[tex]x^{3}[/tex] - 6[tex]x^{2}[/tex] + 5x - 15
W(x) = 2[tex]x^{2}[/tex] (x -3) + 5(x - 3)
W(x) = (x - 3)( 2[tex]x^{2}[/tex] + 5)
Wspólnym czynnikiem dla pierwszych dwóch wyrazów jest 2[tex]x^{2}[/tex] , a dla następnych dwóch 5. Następnie wyciągamy przed nawias wyrażenie (x-3)
