Odpowiedź :
Rozwiązaniem równania, które znajduje się we wskazanym przedziale, są liczby [tex]\frac{\pi}{12};\frac{5\pi}{12};\frac{3\pi}{4};\frac{3\pi}{8};\frac{7\pi}{8}[/tex].
Rozwiązujemy dane równanie
Pamiętamy, że zachodzą poniższe równości:
[tex]\sin\alpha=\cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)[/tex]
[tex]\cos\alpha=\cos\beta\Longrightarrow\alpha=2k\pi\pm\beta[/tex] , gdzie k to liczba całkowita.
Przekształcamy podane równanie - przenosimy sinus na drugą stronę równania.
[tex]\cos5x-\sin x=0[/tex]
[tex]\cos5x=\sin x[/tex]
Zamieniamy sinus na cosinus.
[tex]\cos5x=\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)[/tex]
Porównujemy wartości kątów i wyznaczamy niewiadomą.
1) [tex]5x=2k\pi+\left(\frac{\pi}{2}-x\right)[/tex]
2) [tex]5x=2k\pi-\left(\frac{\pi}{2}-x\right)[/tex]
gdzie k jest liczbą całkowitą
Przekształcamy równanie 1) tak, aby po lewej stronie został tylko sam x.
[tex]5x=2k\pi+\left(\frac{\pi}{2}-x\right)[/tex]
[tex]5x=2k\pi+\frac{\pi}{2}-x[/tex]
[tex]6x=2k\pi+\frac{\pi}{2}[/tex]
[tex]6x=(4k+1)\frac{\pi}{2}[/tex]
[tex]x=(4k+1)\frac{\pi}{12}[/tex]
Wyznaczamy wartości niewiadomej podstawiając za k kolejne liczby całkowite.
[tex]k=0\Longrightarrow x=(0+1)\frac{\pi}{12}=\frac{\pi}{12}[/tex]
[tex]k=1\Longrightarrow x=(4+1)\frac{\pi}{12}=\frac{5\pi}{12}[/tex]
[tex]k=2\Longrightarrow x=(8+1)\frac{\pi}{12}=\frac{9\pi}{12}=\frac{3\pi}{4}[/tex]
[tex]k=3\Longrightarrow x=(12+1)\frac{\pi}{12}=\frac{13\pi}{12}[/tex]
[tex]k=4\Longrightarrow x=(16+1)\frac{\pi}{12}=\frac{17\pi}{12}[/tex]
Przekształcamy równanie 2) tak, aby po lewej stronie został tylko sam x.
[tex]5x=2k\pi-\left(\frac{\pi}{2}-x\right)[/tex]
[tex]5x=2k\pi-\frac{\pi}{2}+x[/tex]
[tex]4x=2k\pi-\frac{\pi}{2}[/tex]
[tex]4x=(4k-1)\frac{\pi}{2}[/tex]
[tex]x=(4k-1)\frac{\pi}{8}[/tex]
Wyznaczamy wartości niewiadomej podstawiając za k kolejne liczby całkowite.
[tex]k=0\Longrightarrow x=(0-1)\frac{\pi}{8}=-\frac{\pi}{8}[/tex]
[tex]k=1\Longrightarrow x=(4-1)\frac{\pi}{8}=\frac{3\pi}{8}[/tex]
[tex]k=2\Longrightarrow x=(8-1)\frac{\pi}{8}=\frac{7\pi}{8}[/tex]
[tex]k=3\Longrightarrow x=(12-1)\frac{\pi}{8}=\frac{11\pi}{8}[/tex]
[tex]k=4\Longrightarrow x=(16-1)\frac{\pi}{8}=\frac{15\pi}{8}[/tex]
Wybieramy wartości, które znajdują się we wskazanym przedziale.
[tex]\frac{\pi}{12};\frac{5\pi}{12};\frac{3\pi}{4};\frac{3\pi}{8};\frac{7\pi}{8}[/tex]
Wniosek: Liczby znajdujące się we wskazanym przedziale i spełniające dane równanie to [tex]\frac{\pi}{12};\frac{5\pi}{12};\frac{3\pi}{4};\frac{3\pi}{8};\frac{7\pi}{8}[/tex].
