Odpowiedź :
Pole koła wpisanego w trójkąt równoboczny wynosi [tex]\pi \frac{10\sqrt{3} }{3}[/tex].
Rozwiązanie krok po kroku:
Dane:
Pole trójkąta: P=30
Wzór na pole trójkąta równobocznego:
[tex]P=\frac{a^{2} \sqrt{3} }{4}[/tex]
Wzór na promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny:
[tex]r=\frac{a\sqrt{3} }{6}[/tex]
Obliczenia:
1) Podstawiając do wzoru na pole trójkąta równobocznego wartość 30 otrzymujemy wartość boku "a":
[tex]30=\frac{a^{2} \sqrt{3} }{4}[/tex]
[tex]120=a^{2} \sqrt{3}[/tex] (dzielimy obie strony przez [tex]\sqrt{3}[/tex])
[tex]\frac{120}{\sqrt{3} } =a^{2}[/tex]
[tex]\frac{120}{\sqrt{3}} * \frac{\sqrt{3} }\sqrt{3}} =a^{2}[/tex](usuwamy niewymierność po lewej stroni równania)
[tex]\frac{120\sqrt{3} }{3} =a^{2}[/tex]
[tex]40\sqrt{3} =a^{2}[/tex] (obustronnie pierwiastkujemy w celu pozbycia się liczby do kwadratu)
[tex]\sqrt{40\sqrt{3} } =a[/tex]
[tex]a=2\sqrt{10\sqrt{3} }[/tex]
2) Podstawiamy wartość boku "a" do wzoru na promień okręg wpisanego w trójkąt równoboczny:
[tex]r=\frac{2\sqrt{10\sqrt{3} } *\sqrt{3} }{6}[/tex]
[tex]r=\frac{\sqrt{30\sqrt{3} }}{3}[/tex]
3) Obliczamy pole koła ze wzoru:
[tex]P_{kola} =\pi r^{2}[/tex]
[tex]P_{kola} =\pi ({\frac{\sqrt{30\sqrt{3}}}{3} })^{2}[/tex]
[tex]P_{kola} =\pi \frac{30\sqrt{3} }{9} =\pi \frac{10\sqrt{3} }{3}[/tex]
Pole koła wpisanego w trójkąt wynosi [tex]\pi \frac{10\sqrt{3} }{3}[/tex].
