Odpowiedź :
Zadanie 1
Równania prostych zawierających boki trójkąta MPQ:
y = [tex]\frac{5}{2}[/tex] x [tex]-\frac{7}{2}[/tex]
y = [tex]\frac{1}{2}[/tex]x + [tex]\frac{5}{2}[/tex]
y = - [tex]\frac{3}{2}[/tex]x + [tex]\frac{1}{2}[/tex]
Zadanie 2
Równanie prostej równoległej co MP: y = [tex]\frac{5}{2}[/tex] x + [tex]\frac{9}{2}[/tex]
Zadanie 3
Równanie wysokości trójkąta: y = [tex]-\frac{2}{5}[/tex]x + [tex]\frac{8}{5}[/tex]
Równanie prostej przechodzącej przez punkt
Zadanie 1
Dane z zadania:
M (1, -1)
P (3, 4)
Q (-1, 2)
Pierwsza wartość w nawiasie to oznaczenie x (rzędnych), a druga to oznaczenie y (odciętych)
Dany jest trójkąt MPQ. Punktu M, P i Q są jego wierzchołkami. Mając dane dwóch punktów, przez które przechodzi prosta, możemy napisać jej równanie.
Równanie ogólne prostej:
y = ax + b
Podstawiamy za x i y dane z dwóch punktów przez które przechodzi prosta.
- Prosta MP
Dla punktu M (1, -1)
-1 = a*1 + b
Dla punktu P (3, 4)
4 = a * 3 + b
Powstał układ równań. Należy wyznaczyć jedną z niewiadomych w jednym z równań i wstawić do drugiego.
-1 - b = a
4 = (-1 - b) * 3 + b
4 = -3 - 3b + b
7 = -2b
b = [tex]-\frac{7}{2}[/tex]
Obliczamy a:
-1 = a + b
- 1 = a [tex]-\frac{7}{2}[/tex]
a = - 1 + [tex]\frac{7}{2}[/tex] = [tex]\frac{5}{2}[/tex]
Równanie prostej MP:
y = [tex]\frac{5}{2}[/tex] x [tex]-\frac{7}{2}[/tex]
- Prosta PQ
Dla punktu P ( 3, 4)
4 = 3 * a + b
Dla punktu Q (-1, 2)
2 = -1 * a + b
Wyznaczamy jedną z niewiadomych:
2 = -1 * a + b
2 = -a + b
b = 2 + a
Podstawiamy do drugiego z równań:
4 = 3 * a + 2 + a
4 = 3a + 2 + a
2 = 4a
a = [tex]\frac{1}{2}[/tex]
b= 2 + [tex]\frac{1}{2}[/tex] = [tex]\frac{5}{2}[/tex]
Równanie prostej PQ:
y = [tex]\frac{1}{2}[/tex]x + [tex]\frac{5}{2}[/tex]
- Prosta MQ
Dla punktu M (1, -1)
-1 = 1 * a + b
Dla punktu Q (-1, 2)
2 = -1 * a + b
Wyznaczamy jedną z niewiadomych:
-1 = 1 * a + b
- 1 - b = a
Podstawiamy do drugiego z równań
2 = -( -1 - b) + b
2 = 1 + b + b
1 = 2b
b = [tex]\frac{1}{2}[/tex]
a = - 1 - [tex]\frac{1}{2}[/tex] = - [tex]\frac{3}{2}[/tex]
Równanie prostej MQ:
y = - [tex]\frac{3}{2}[/tex]x + [tex]\frac{1}{2}[/tex]
Zadanie 2
Równanie prostej MP :
y = [tex]\frac{5}{2}[/tex] x [tex]-\frac{7}{2}[/tex]
Prosta równoległa do danej prostej ma taki sam współczynnik kierunkowy a
Mamy więc a z prostej, której szukamy. Należy znaleźć b
Równanie prostej równoległej do MP:
y = [tex]\frac{5}{2}[/tex] x + b
Wiemy, że prosta równoległa do MP przechodzi przez punkt Q (-1, 2). Możemy wstawić współrzędne punktu Q, aby obliczyć b
2 = [tex]\frac{5}{2}[/tex] * (-1) + b
b= 2 + [tex]\frac{5}{2}[/tex]
b = [tex]\frac{9}{2}[/tex]
Równanie prostej równoległej do prostej MP:
y = [tex]\frac{5}{2}[/tex] x + [tex]\frac{9}{2}[/tex]
Zadanie 3
Należy znaleźć wysokość trójkąta, która przechodzi przez punkt Q.
Wiemy, że wysokość pada pod kątek prostym. Wysokość przechodząca przez punkt Q pada na prostą MP. Należy więc znaleźć równanie prostej prostopadłej do MP.
Współczynnik a w prostej prostopadłej jest równy [tex]-\frac{1}{a}[/tex] w stosunku do prostej MP.
Jeżeli a w prostej MP jest równe [tex]\frac{5}{2}[/tex] , to a w prostej prostopadłej do MP jest równe [tex]-\frac{2}{5}[/tex]
Równanie prostej prostopadłej do MP:
y = [tex]-\frac{2}{5}[/tex]x + b
Wiemy, że ta prosta przechodzi przez wierzchołek Q (-1, 2). Podstawiamy współrzędne do równania:
2 = [tex]-\frac{2}{5}[/tex] * (-1) + b
2 = [tex]\frac{2}{5}[/tex] + b
b = [tex]\frac{8}{5}[/tex]
Równanie prostej prostopadłej do MP:
y = [tex]-\frac{2}{5}[/tex]x + [tex]\frac{8}{5}[/tex]
