Odpowiedź :
a) f(x) = (x-3)(x+1)
b) f(x) = -x(x+6)
c) f(x) = -9x(x+4)
d) brak postaci iloczynowej
Postacie funkcji kwadratowej
Funkcją kwadratową nazywamy taką funkcję, która zawiera we wzorze czynnik kwadratowy. Wzór dowolnej funkcji kwadratowej możemy zapisać na kilka sposobów. Podstawowymi postaciami są:
- postać ogólna: [tex]f(x) =ax^2+bx+c[/tex], gdzie a, b, c to współczynniki liczbowe, dodatkowo a ≠ 0. Z tej postaci odczytamy czy ramiona paraboli są skierowane do góry (a > 0), czy do dołu (a < 0). Ponadto jesteśmy w stanie podać punkt przecięcia paraboli z osią OY, który ma współrzędne (0, c).
- postać kanoniczna: [tex]f(x) = a(x-p)^2+q[/tex], gdzie a, p, q to współczynniki liczbowe, dodatkowo a ≠ 0. Współczynniki p i q są współrzędnymi wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji kwadratowej i oznaczamy go przez W = (p, q).
- postać iloczynowa: [tex]f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)[/tex], gdzie a jest współczynnikiem liczbowym, takim, że a≠0. Ponadto [tex]x_1[/tex] i [tex]x_2[/tex] są miejscami zerowymi funkcji f(x).
Sprowadzenie z jednej postaci do drugiej sprowadza się do zwykłych przekształceń algebraicznych. Warto też pamiętać o wzorach skróconego mnożenia, które mogą nam się przydać. Mamy więc:
a)
[tex]f(x) = (x-1)^2 -4=\\\\(x-1)^2 -2^2 =\\\\(x-1-2)(x-1+2)=\\\\(x-3)(x+1)[/tex]
b)
[tex]f(x) = -1(x+3)^2+9=\\\\-[{(x+3)^2-9}]=\\\\-[(x+3)^2 -3^2]=\\\\-[(x+3-3)(x+3+3)]=\\\\-x(x+6)[/tex]
c)
[tex]f(x) = -9(x+2)^2 +36=\\\\-9[(x+2)^2-4]=\\\\-9[(x+2)^2-2^2]=\\\\-9[(x+2-2)(x+2+2)]=\\\\-9[x(x+4)]=\\\\-9x(x+4)[/tex]
d) funkcja [tex]f(x) = 2(x-3)^2 +4[/tex] nie ma postaci iloczynowej, ponieważ z postaci kanonicznej jesteśmy w stanie odczytać, że współczynnik kierunkowy a jest większy od 0 (a = 2). Co więcej współrzędna y-owa wierzchołka jest większa od 0 (q = 4), co oznacza, że parabola ma ramiona skierowane w górę, a jej wierzchołek znajduje się nad osią OX, zatem nie mamy miejsc zerowych. Czyli postać iloczynowa nie istnieje
