→Trójkąt jest równoramienny tzn., że bok AC=BC, oznaczmy je jako l.
→W trójkącie równoramiennym kąty między podstawą o bokami są sobie równe – oznaczmy je jako alfa.
→Z punktu D poprowadzono dwa odcinki
x prostopadły (pod kątem 90) do prostej AC
y prostopadły do prostej BC
→Z punktu E poprowadzono dwa odcinki
z prostopadły do prostej AC
c prostopadły do prostej BC
Musimy udowodnić, że x+y=c+z
Aby ta równość była prawdą, to
x=c
z=y
Wyodrębnijmy dwa trójkąty ADG i EFB (zdjęcie 2)
→W trójkącie ADG
∡AGD jest prosty (ma 90 stopni)
∡ADG jest równy alfa
∡DAG będzie równy suma wszystkich kątów w trójkącie minus kąty AGD i ADG
DAG=180-90-alfa
→W trójkącie EFB
∡EFB jest prosty (ma 90 stopni)
∡EBF jest równy alfa
∡BEF będzie równy sumie wszystkich kątów w trójkącie minus kąty EFB i EBF
BEF=180-90-alfa
Wyszło nam, że:
∡DAG=180-90-alfa
∡BEF=180-90-alfa
Czyli ∡DAG=∡BEF – oznaczmy je jako kąty beta
Z zasady KKK są to trójkąty podobne, czyli
Bok GD=BF
Bok AG=EF
Bok AD=EB
Odcinek x leży między kątem prostym i betą
Odcinek c leży między kątem prostym i betą
Wniosek: x=c
Wyodrębnijmy dwa trójkąty AEJ i DBH (zdjęcie 3)
W trójkącie AEJ
∡AJE jest prosty (ma 90 stopni)
∡EAJ jest równy alfa
∡AEJ będzie równy sumie wszystkich kątów w trójkącie minus kąty AEJ i AEAJ
AEJ=180-90-alfa
W trójkącie DBH
∡DHB jest prosty (ma 90 stopni)
∡DBH jest równy alfa
∡BDH będzie równy sumie wszystkich kątów w trójkącie minus kąty DBH i DHB
BDH=180-90-alfa
Wyszło nam, że:
∡AEJ=180-90-alfa
∡BDH=180-90-alfa
Czyli ∡AEJ=∡BBH – oznaczmy je jako kąty gamma
Z zasady KKK są to trójkąty podobne, czyli
Bok AJ=DH
Bok JE=HB
Bok AE=DB
Odcinek z leży między kątem prostym i betą
Odcinek y leży między kątem prostym i betą
Wniosek: z=y
Ostatecznie udowodniliśmy, że z=y i x=c, oznacza to, że
x+y=c+z jest prawdziwa.
cnd.
