Funkcje trygonometryczne.
Odp: sin²10° + sin²100° = 1, co jest liczbą wymierną.
ROZWIĄZANIE:
Wzór:
[tex]\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\sin\beta\cos\alpha[/tex]
Tożsamość trygonometryczna:
[tex]\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1[/tex]
Mamy dane wyrażenie:
[tex]\sin^210^o+\sin^2100^o[/tex]
sin10° możemy napisać jako sin(100° - 90°).
Skorzystamy ze wzoru:
[tex]\sin(100^o-90^o)=\sin100^o\cos90^o-\sin90^o\cos100^o[/tex]
Z tabeli wartości funkcji trygonometrycznych możemy odczytać wartości obu funkcji kąta 90°:
[tex]\cos90^o=0\\\sin90^o=1[/tex]
Podstawiamy:
[tex]\sin(100^o-90^o)=\sin100^o\cdot0-1\cdot\cos100^o=-\cos100^o[/tex]
Podstawiamy do pierwotnego wyrażenia:
[tex]\sin^210^o+\sin^2100^o=\left(-\cos100^o\right)^2+\sin^2100^o=\cos^2100^o+\sin^2100^o[/tex]
Korzystając z tożsamości trygonometrycznej otrzymujemy:
[tex]\sin^210^o+\sin^2100^o=1\in\mathbb{Q}[/tex]
