Odpowiedź :
(1) Pole powierzchni całkowitej tego czworościanu wynosi [tex]\frac{8\sqrt3}3[/tex].
(2) Mapa wyświetla się w skali 1:1800000.
(3) Marek może przewieźć tą przyczepką [tex]150dm^3[/tex] żwiru.
Pole powierzchni czworościanu foremnego
Czworościan foremny to taki ostrosłup, który w podstawie oraz w ścianach bocznych ma trójkąty równoboczne.
Jeśli czworościan ma krawędź długości a, to pole powierzchni całkowitej możemy wyliczyć ze wzoru:
[tex]P_c=a^2\sqrt3[/tex].
Skala
Ze skalą spotkamy się na każdej mapie lub planie. Informuje nas ona, jak bardzo został pomniejszony obraz na mapie.
W zadaniu obliczymy skalę liczbową. Zapis takiej skali podany jest w postaci dwóch liczb oddzielonych dwukropkiem. W takiej postaci po lewej stronie dwukropka zawsze mamy 1, a po prawej pewną liczbę, która podaje nam informację, ile razy dana odległość została zmniejszona. Po obu stronach dwukropka odległość podana jest w centymetrach.
Gęstość
Gęstość to stosunek masy danej substancji [tex]m[/tex] do objętości przez nią zajmowanej [tex]V[/tex], co możemy zapisać następująco:
[tex]\rho=\frac{m}{V}[/tex].
Zadanie 1
Wiemy, że suma długości krawędzi czworościanu foremnego wynosi [tex]4\sqrt6[/tex]. Czworościan ma 6 krawędzi, zatem długość jednej krawędzi wynosi [tex]4\sqrt6:6=\frac{2\sqrt6}3[/tex].
Zgodnie z podanym powyżej wzorem, pole powierzchni całkowitej czworościanu wynosi:
[tex]P_c=(\frac{2\sqrt6}3)^2*\sqrt3=\frac{4*6}9*\sqrt3=\frac{4*2}3*\sqrt3=\frac{8\sqrt3}3[/tex].
Zadanie 2
Wiemy, że gdyby Pan Jan przejechał planowaną trasę ze średnią prędkością równą [tex]90\frac{km}h[/tex], pokonałby ją w czasie [tex]1h54min=1\frac{54}{60}h=1\frac9{10}h[/tex].
Trasę, którą Pan Jan ma pokonać, policzymy następująco:
[tex]s=90*1\frac{54}{60}=90*\frac{114}{60}=9*\frac{114}6=\frac{026}6=171km=171000m=17100000cm[/tex].
Na mapie ta trasa jest długości 9,5cm, zatem skala jest równa:
[tex]1:(\frac{17100000}{9,5})\\1:1800000[/tex]
Zadanie 3
Marek kupił przyczepkę do roweru o wymiarach 85x52x40cm, tj. 8,5x5,2x4dm. Maksymalnie może on nią przewieźć 350kg.
Z podanych danych w zadaniu możemy policzyć gęstość żwiru, który chce przewieźć Marek:
[tex]\rho=\frac1{0,6}\frac{kg}{dm^3}=\frac{10}6\frac{kg}{dm^3}=\frac53\frac{kg}{dm^3}[/tex].
Marek chce przewieźć [tex]150dm^3[/tex] takiego żwiru, zatem waży on
[tex]m=\frac53*150=\frac51*50=250kg < 350kg[/tex].
Sprawdźmy jeszcze maksymalną objętość przyczepki, czy [tex]150dm^3[/tex] żwiru zmieści się do niej:
[tex]V=8,5*5,2*4=176,8dm^3 > 150dm^3[/tex].
Marek może przewieźć tą przyczepką [tex]150dm^3\\[/tex] żwiru.
#SPJ4
