Przypomnijmy wzór na pole powierzchni całkowitej dowolnego ostrosłupa.
[tex]P_c = P_p + P_b[/tex]
[tex]P_c[/tex] ⇒ pole powierzchni całkowitej ostrosłupa
[tex]P_p[/tex] ⇒ pole podstawy ostrosłupa
[tex]P_b[/tex] ⇒ pole boczne ostrosłupa
Ostrosłup prawidłowy trójkątny ma w podstawie trójkąt równoboczny, za pole boczne tworzą 3 takie same trójkąty. W takim razie - możemy zapisać, że:
[tex]P_c = P_{\Delta} + 3 \cdot \cfrac{a \cdot h_b}{2} = \cfrac{a^2\sqrt{3}}{4} + 3 \cdot \cfrac{a \cdot h_b}{2}[/tex]
gdzie:
a - krawędź podstawy
[tex]h_b[/tex] - wysokość ściany bocznej
Dane z zadania:
[tex]P_p = 4\sqrt{3} \\\\h_b = 4\sqrt{3}[/tex]
Mając te dane z wzoru na pole trójkąta równobocznego wyznaczymy krawędź podstawy a następnie pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.
[tex]P_p = P_{\Delta} = \cfrac{a^2\sqrt{3}}{4} \\\\P_p = 4\sqrt{3}[/tex]
W takim razie:
[tex]\cfrac{a^2\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3} \ | \cdot 4 \\\\a^2\sqrt{3} = 16\sqrt{3} \ | : \sqrt{3} \\\\a^2 = 16 \\\\a = \sqrt{16} = 4 \\\\[/tex]
[tex]\boxed{P_c = P_p + 3 \cdot \cfrac{a \cdot h_b}{2} = 4\sqrt{3} + 3 \cdot \cfrac{4 \cdot 4\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} + 24\sqrt{3} = 28\sqrt{3} }[/tex]
Wniosek: Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa wynosi 28√3.
#SPJ4