Odpowiedź :
a) H = [tex]\sqrt{69}[/tex] cm
b) d = [tex]\sqrt{94}[/tex] cm
c) [tex]sin\beta =\frac{5\sqrt{3}}{13}[/tex]
Kąty w graniastosłupach
Narysujmy sobie szkic i wprowadźmy potrzebne oznaczenia (w załączniku). W podstawie znajduje się sześciokąt foremny o boku x = 5 cm. Sześciokąt foremny to taki sześciokąt wypukły, którego wszystkie boki są równej długości i wszystkie kąty są równe. Znając długość boku sześciokąta jesteśmy w stanie obliczyć jego przekątne, ponieważ z właściwości takiego sześciokąta:
- dłuższa podstawa ma długość 2x, zatem 2 * 5 = 10 cm
- krótsza podstawa ma długość [tex]x\sqrt{3}[/tex] = [tex]5\sqrt3[/tex] cm
Wiemy, że przekątne graniastosłupa wychodzące z jednego wierzchołka tworzą kąt α, taki że [tex]cos\alpha =\frac{12}{13}[/tex]. Co więcej, tworzy się nam trójkąt prostokątny. Zatem z definicji funkcji trygonometrycznych dla trójkąta prostokątnego:
[tex]cos\alpha =\frac{a}{c}=\frac{12}{13}[/tex]
Z czego wynika, że a = 12 i c = 13. Mając obliczoną długość boku c, możemy skorzystać z informacji, że trójkąt ADK jest prostokątny i z twierdzenia Pitagorasa wyznaczyć wysokość graniastosłupa H. Mamy więc:
[tex]10^2+H^2=c^2\\\\10^2+H^2=13^2\\\\H^2=169-100\\\\H^2=69\\\\H=\sqrt{69}[/tex]
Jest to jednocześnie długość krawędzi bocznej.
Analogicznie możemy postąpić w przypadku obliczenia długości przekątnej ściany bocznej. W tym celu ponownie użyjemy twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta KDE:
[tex]5^2+H^2=d^2\\\\5^2+(\sqrt{69})^2 =d^2\\\\25+69 = d^2\\\\d^2=94\\\\d=\sqrt{94}[/tex]
Pozostaje nam wyliczyć sinus kata między przekątną ściany bocznej a dłuższą przekątna graniastosłupa wychodzącymi z jednego wierzchołka. Wykorzystamy w tym celu trójkąt KAC. Znamy wszystkie długości boków, ale nie znamy wartości potrzebnego nam kąta (oznaczonego jako β). Użyjemy więc twierdzenia cosinusów:
W dowolnym trójkącie, kwadrat długości dowolnego boku jest równy sumie kwadratów długości pozostałych boków, pomniejszonej o podwojony iloczyn długości tych boków i cosinusa kąta zawartego między nimi.
Zapiszmy więc to twierdzenie dla kąta β:
[tex](5\sqrt{3})^2=c^2+d^2-2*c*d*cos\beta[/tex]
Możemy więc przekształcić to na cosinus kąta β:
[tex](5\sqrt{3})^2=c^2+d^2-2*c*d*cos\beta\\\\(5\sqrt{3})^2=13^2+(\sqrt{94})^2-2*13*\sqrt{94}*cos\beta \\\\75=169+94-26\sqrt{94} cos\beta\\\\26\sqrt{94}cos\beta =169+94-75\\\\cos\beta=\frac{188}{26\sqrt{94}}\\\\cos\beta=\frac{188\sqrt{94}}{26*94}=\frac{188\sqrt{94}}{2444}=\frac{\sqrt{94}}{13}[/tex]
W zadaniu mamy pytanie o sinusa więc musimy skorzystać z jedynki trygonometrycznej:
[tex]sin^2\beta+cos^2\beta=1\\\\sin^2\beta=1-cos^2\beta\\\\sin\beta=\sqrt{1-cos^2\beta}\\\\sin\beta=\sqrt{1-(\frac{\sqrt{94}}{13})^2}=\sqrt{1-\frac{94}{169}}=\sqrt{\frac{75}{169}}=\frac{\sqrt{75}}{13}=\frac{5\sqrt{3}}{13}[/tex]
