Równanie z wartością bezwzględną i parametrem.
[tex]\huge\boxed{a=-\dfrac{1}{20}\to x\in\left\{-11,-5\dfrac{1}{5},\ 2\dfrac{4}{5}\right\}}[/tex]
[tex]\huge\boxed{a=0\to x\in\left\{-5,\ 3,\ 11\}}[/tex]
ROZWIĄZANIE:
Mamy równanie:
[tex]\bigg(|x-4a+1|-4\bigg)\bigg(2ax^2+24ax-x+22a-11\bigg)=0[/tex],
dla którego mamy znaleźć takie wartości parametru [tex]a[/tex], dla których równanie posiada dokładnie trzy różne pierwiastki.
Iloczyn jest równy 0, gdy jeden z czynników jest równy 0. Stąd:
[tex]\bigg(|x-4a+1|-4\bigg)\bigg(2ax^2+24ax-x+22a-11\bigg)=0\\\Updownarrow\\|x-4a+1|-4=0\ \vee\ 2ax^2+24ax-x+22a-11=0[/tex]
Przekształćmy pierwsze równanie:
[tex]|x-4a+1|-4=0\qquad|+4\\\\|x-4a+1|=4[/tex]
Takie równanie ma dokładnie dwa różne rozwiązania niezależnie od wartości parametru [tex]a[/tex].
[tex]|x-4a+1|=4\iff x-4a+1=4\ \vee\ x-4a+1=-4\\\\\boxed{x=4a+3\ \vee\ x=4a-5}[/tex]
Mamy już dwa rozwiązania. Czyli drugie równanie ma posiadać tylko jedno rozwiązanie, różne od powyższych.
Równanie:
[tex]2ax^2+24ax-x+22a-11=0[/tex]
ma dokładnie jedno rozwiązanie, gdy
- Będzie równaniem liniowym.
- Gdy wyróżnik Δ trójmianu kwadratowego będzie równy 0
1.
[tex]2a=0\to\boxed{a=0}[/tex]
Wówczas otrzymujemy równanie:
[tex]2\cdot0\cdot x^2+24\cdot0\cdot x-x+22\cdot0-11=0\\\\-x-11=0\qquad|+x\\\\\boxed{x=11}[/tex]
Dla [tex]a=0[/tex] z wcześniejszego równania mamy:
[tex]x=4a+3\to\boxed{x=3}\\\\x=4a-5\to\boxed{x=-5}[/tex]
Otrzymujemy trzy różne pierwiastki.
2.
[tex]ax^2+bx+c=0\\\\\Delta=b^2-4ac[/tex]
Podstawiamy:
[tex]2ax^2+(24a-1)x+22a-11=0\\\\\Delta=(24a-1)^2-4\cdot2a\cdot(22a-11)=(24a)^2-2\cdot24a\cdot1+1^2-176a^2+88a\\\\=576a^2-48a+1-176a^2+88a=400a^2+40a+1[/tex]
Budujemy równanie:
[tex]\Delta=0\iff400a^2+40a+1=0[/tex]
Możemy zauważyć, że po lewej stronie mamy rozwinięcie wzoru skróconego mnożenia:
(a + b)² = a² + 2ab + b²
[tex]400a^2+40a+1=0\\\\(20a)^2+2\cdot20a\cdot1+1^2=0\\\\(20a+1)^2=0\iff20a+1=0\qquad|-1\\\\20a=-1\qquad|:20\\\\\boxed{a=-\dfrac{1}{20}}[/tex]
Wówczas nasze równanie otrzymuje postać:
[tex]2\cdot\left(-\dfrac{1}{20}\right)x^2+\left[24\cdot\left(-\dfrac{1}{20}\right)-1\right]x+22\cdot\left(-\dfrac{1}{20}\right)-11=0\\\\-\dfrac{1}{10}x^2-\dfrac{22}{10}x+\dfrac{121}{10}=0\qquad|\cdot(-10)\\\\x^2+22x+121=0\\\\x^2+2\cdot x\cdot11+11^2=0\\\\(x+11)^2=0\iff x+11=0\qquad|-11\\\\\boxed{x=-11}[/tex]
Obliczamy wartości pierwiastków z pierwszego równania:
[tex]x=4a+3\to x=4\cdot\left(-\dfrac{1}{20}\right)+3\to\boxed{x=2\dfrac{4}{5}}\\\\x=4a-5\to x=4\cdot\left(-\dfrac{1}{20}\right)-5\to\boxed{x=-5\dfrac{1}{5}}[/tex]
Otrzymujemy trzy różne pierwiastki.
