Dane z rysunku:
[tex]|AB|=|CD|[/tex]
[tex]|AD|=|BC|[/tex]
[tex]|AE|=|CE|[/tex]
[tex]|BE|=|DE|[/tex]
[tex]|\angle AEB|=|\angle CED|[/tex]
[tex]|\angle AED|=|\angle BEC|[/tex]
Trójkąty przystające:
Z cechy bok-bok-bok wykażemy, że trójkąt na przeciwko siebie są przystające.
[tex]\Delta ABE[/tex] i [tex]\Delta CDE[/tex]
[tex]|AB|=|CD|[/tex]
[tex]|AE|=|CE|[/tex]
[tex]|BE|=|DE|[/tex]
[tex]\Delta ABE\equiv\Delta CDE[/tex]
[tex]\Delta ADE[/tex] i [tex]\Delta BCE[/tex]
[tex]|AD|=|BC|[/tex]
[tex]|AE|=|CE|[/tex]
[tex]|BE|=|DE|[/tex]
[tex]\Delta ADE\equiv\Delta BCE[/tex]
Teraz wystarczy wykazać, że trójkąt ABE i ADE mają równe pola.
Wzór na pole trójkąta:
[tex]P=ab\sin\gamma[/tex]
Kąt [tex]\gamma[/tex] jest pomiędzy bokami a i b.
[tex]P_{ABE}=|AE|\cdot|BE|\cdot\sin|\angle AEB|[/tex]
[tex]P_{ADE}=|AE|\cdot|DE|\cdot\sin|\angle AED|[/tex]
Wiemy, że [tex]|BE|=|DE|[/tex]. Teraz pokażemy, że [tex]\sin|\angle AEB|=\sin|\angle AED|[/tex].
[tex]|\angle AEB|+|\angle AED|=180^\circ[/tex]
[tex]|\angle AEB|=180^\circ-|\angle AED|[/tex]
Z wzorów redukcyjnych wiemy, że [tex]\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha[/tex], czyli:
[tex]\sin|\angle AEB|=\sin(180^\circ-|\angle AED|)=\sin|\angle AED|[/tex]
Z tego wynika, że pola trójkątów ABE i ADE mają równe pola. Co oznacza, że wszystkie trójkąty mają równe pola, bo trójkąty na przeciwko siebie są przystające.
