Podobieństwo trójkątów. Funkcje trygonometryczne.
Zad.4 [tex]\huge\boxed{a=12cm}[/tex]
Zad.5 [tex]\huge\boxed{d=\dfrac{60}{17}cm}[/tex]
Zad.6 [tex]\huge\boxed{\text{tg}30^o\cdot\text{tg}40^o\cdot\text{tg}130^o=-\dfrac{\sqrt3}{3}}[/tex]
ROZWIĄZANIA:
Cechy podobieństwa trójkątów:
- Kąt-Kąt-Kąt (KKK) - jeżeli kąty w jednym trójkącie są tej samej miary, co katy w drugim trójkącie, to takie trójkąty są podobne.
- Bok-Bok-Bok (BBB) - jeżeli boki jednego trójkąta tworzą proporcję z odpowiadającymi bokami drugiego trójkąta, to takie trójkąty są podobne.
- Bok-Kąt-Bok (BKB) - jeżeli dwa boki jednego trójkąta tworzą proporcję z odpowiadającymi bokami drugiego trójkąta i kąty między tymi bokami są tej samej miary, to trójkąty są podobne.
Aby dwa trójkąty prostokątne były podobne wystarczy aby:
- jeden z katów ostrych jednego trójkąta był ej samej miary co kąt drugiego trójkąta;
- stosunek odpowiadających sobie przyprostokątnych był taki sam.
Twierdzenie:
Jeżeli dwie figury są podobne w skali k, to stosunek ich pól jest równy kwadratowi skali podobieństwa.
[tex]F'\sim F\ \Rightarrow\dfrac{P_{F'}}{P_{F}}=k^2[/tex]
Zad.4
[tex]\Delta A'B'C'\sim\Delta ABC,\ k=3,\ P_{\Delta ABC}=4\sqrt3cm^2[/tex]
Na podstawie twierdzenia mamy:
[tex]\dfrac{P_{\Delta A'B'C'}}{P_{\Delta ABC}}=k^2\to\dfrac{P_{\Delta A'B'C'}}{4\sqrt3}=3^2\qquad|\cdot4\sqrt3\\\\P_{\Delta A'B'C'}=36\sqrt3(cm^2)[/tex]
Pole trójkąta równobocznego o boku [tex]a[/tex] obliczamy ze wzoru
[tex]P=\dfrac{a^2\sqrt3}{4}[/tex]
Podstawiamy:
[tex]\dfrac{a^2\sqrt3}{4}=36\sqrt3\qquad|\cdot4\\\\a^2\sqrt3=144\sqrt3\qquad|:\sqrt3\\\\a^2=144\to a=\sqrt{144}\\\\\huge\boxed{a=12cm}[/tex]
Zad.5
Kreślimy rysunek poglądowy.
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
a² + b² = c²
a, b - długości przyprostokątnych
c - długość przeciwprostokątnej
Obliczamy długość wysokości trójkąta:
[tex]8^2+h^2=17^2\\\\64+h^2=289\qquad|-64\\\\h^2=225\to h=\sqrt{225}\\\\\boxed{h=15(cm)}[/tex]
[tex]\Delta ADC\sim\Delta FEC[/tex] - mają te same kąty.
W związku z tym stosunek odpowiadających sobie boków tworzą proporcję:
[tex]\dfrac{EF}{DA}=\dfrac{FC}{BC}[/tex]
Stąd mamy równanie:
[tex]\dfrac{d}{8}=\dfrac{\frac{1}{2}\cdot15}{17}\qquad|\cdot8\\\\\huge\boxed{d=\dfrac{60}{17}cm}[/tex]
Zad.6
Wzór redukcyjny:
[tex]\text{tg}(90^o+\alpha)=-\text{ctg}\alpha[/tex]
Tożsamość trygonometryczna:
[tex]\text{tg}\alpha\cdot\text{ctg}\alpha=1[/tex]
Wartość funkcji tangens:
[tex]\text{tg}30^o=\dfrac{\sqrt3}{3}[/tex]
[tex]\text{tg}30^o\cdot\text{tg}40^o\cdot\text{tg}130^o=\dfrac{\sqrt3}{3}\cdot\text{tg}40^o\cdot\text{tg}(90^o+40^o)=\dfrac{\sqrt3}{3}\cdot\text{tg}40^o\cdot(-\text{ctg}40^o)\\\\=-\dfrac{\sqrt3}{3}\cdot\text{tg}40^o\cdot\text{ctg}40^o=-\dfrac{\sqrt3}{3}\cdot1=\boxed{-\dfrac{\sqrt3}{3}}[/tex]
