Działania na potęgach.
[tex]\huge\boxed{\dfrac{\left[\left(3^4\right)^{-8}\right]^{-4}\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{17}\cdot6^{-5}\cdot18^9\cdot\left(\frac{1}{27}\right)^{40}}{(0,0625)^{-3}\cdot12^{-5}\cdot\left[\left(-\frac{1}{3}\right)^{-2}\right]^4}=12}[/tex]
ROZWIĄZANE:
Twierdzenia:
[tex](a^n)^m=a^{n\cdot m}\\\\a^n\cdot a^m=a^{n+m}\\\\\dfrac{a^n}{a^m}=a^{n-m}\qquad\text{dla}\ a\neq0\\\\(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n\\\\\left(\dfrac{a}{b}\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n}\ \text{dla}\ b\neq0[/tex]
Definicja:
[tex]a^{-n}=\left(\dfrac{1}{a}\right)^n\qquad\text{dla}\ a\neq0[/tex]
Pamiętamy:
Potęgując liczbę ujemną otrzymujemy wynik
- dodatni, gdy wykładnik potęgi jest parzysty;
- ujemny, gdy wykładnik potęgi jest nieparzysty.
[tex]\dfrac{\left[\left(3^4\right)^{-8}\right]^{-4}\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{17}\cdot6^{-5}\cdot18^9\cdot\left(\frac{1}{27}\right)^{40}}{(0,0625)^{-3}\cdot12^{-5}\cdot\left[\left(-\frac{1}{3}\right)^{-2}\right]^4}[/tex]
Postaramy się przedstawić wszystkie liczby jako potęgi dwóch liczb 2 i 3:
[tex]=\dfrac{3^{4\cdot(-8)\cdot(-4)}\cdot3^{-17}\cdot(2\cdot3)^{-5}\cdot(9\cdot2)^9\cdot27^{-40}}{\left(\frac{1}{16}\right)^{-3}\cdot(4\cdot3)^{-5}\cdot\left[\left(-3\right)^2\right]^4}\\\\=\dfrac{3^{128}\cdot3^{-17}\cdot2^{-5}\cdot3^{-5}\cdot\left(3^2\right)^9\cdot2^9\cdot\left(3^3\right)^{-40}}{16^3\cdot\left(2^2\right)^{-5}\cdot3^{-5}\cdot3^{2\cdot4}}\\\\=\dfrac{3^{128-17-5}\cdot2^{-5+9}\cdot3^{2\cdot9}\cdot3^{3\cdot(-40)}}{\left(2^4\right)^3\cdot2^{2\cdot(-5)}\cdot3^{-5}\cdot3^8}\\\\=\dfrac{3^{106}\cdot2^4\cdot3^{18}\cdot3^{-120}}{2^{4\cdot3}\cdot2^{-10}\cdot3^{-5+8}}\\\\=\dfrac{3^{106+18-120}\cdot2^4}{2^{12-10}\cdot3^3}\\\\=\dfrac{3^4\cdot2^4}{2^2\cdot3^3}=3^{4-3}\cdot2^{4-2}=3^1\cdot2^2=3\cdot4=\boxed{12}[/tex]
