Odpowiedź :
1. Rozwiązaniem nierówności jest przedział x ∈ [-2, 7]
Nierówność kwadratowa
Nierówności kwadratowe rozwiązujemy podobnie jak równania kwadratowe, z tą różnicą, że w przypadku nierówności rozwiązaniem będzie pewien przedział liczb. Zacznijmy sobie od sprowadzenia nierówności do postaci [tex]ax^2+bx+c \leq 0[/tex]:
[tex]x^2-5x\leq14\\\\x^2-5x-14\leq0[/tex]
Musimy wyznaczyć teraz miejsca zerowe funkcji wyżej. W tym celu obliczymy deltę:
[tex]\Delta =b^2-4ac\\\\\Delta= (-5)^2-4*1*(-14)\\\\\Delta=25+56=81[/tex]
Delta jest dodatnia, zatem mamy dwa rozwiązania:
[tex]x_1 =\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} =\frac{5+\sqrt{81}}{2*1} =\frac{14}{2}=7\\\\x_2 =\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{5-\sqrt{81}}{2*1}=\frac{-4}{2}=-2[/tex]
Żeby znaleźć rozwiązanie nierówności musimy sporządzić szkic wykresu funkcji (w załączniku). Pozostaje nam tylko nanieść wyznaczone miejsca zerowe i sprawdzić dla jakiego przedziału mamy wartości równe lub poniżej 0. Kropki przy miejscach zerowych są zamalowane, żeby zaznaczyć, że one również należą do rozwiązania nierówności. Na podstawie tego stwierdzamy, że końcowym rozwiązaniem jest przedział:
x∈[-2, 7].
2. Rozwiązaniem równania jest x = 2 oraz x = [tex]\frac{5}{3}[/tex]
Równania wymierne sprowadzane do równań kwadratowych
Mamy rozwiązać zagadnienie równania wymiernego:
[tex]\frac{3x+2}{3x-2} =4-x[/tex]
W pierwszej kolejności musimy wyznaczyć dziedzinę rozwiązań. Wiemy, że w mianowniku ułamka nie może być 0. Zatem:
[tex]3x-2\neq0\\\3x\neq2\\x\neq\frac{2}{3}[/tex]
Więc naszą dziedziną jest zbiór x, taki że: [tex]x \in\mathbb{R} /\{\frac{2}{3}}\}[/tex]
Teraz możemy rozwiązać równanie w standardowy sposób, tzn. pozbądźmy się mianownika poprzez obustronne wymnożenie. Po przekszałceniach algebraicznych otrzymamy:
[tex]\frac{3x+2}{3x-2} =4-x/*(3x-2)\\\\3x+2=(4-x)(3x-2)\\\\3x+2=12x-8-3x^2+2x\\\\3x+2-12x+8+3x^2-2x=0\\\\3x^2-11x+10=0[/tex]
Otrzymaliśmy równanie kwadratowe. Aby wyznaczyć rozwiązania, potrzebujemy obliczyć deltę:
[tex]\Delta =b^2-4ac=(-11)^2-4*3*10=121-120=1[/tex]
Delta jest dodatnia, więc mamy dwa rozwiązania:
[tex]x_1 =\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} =\frac{11+\sqrt{1}}{2*3} =\frac{12}{6}=2\\\\x_2 =\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{11-\sqrt{1}}{2*3}=\frac{10}{6}=\frac{5}{3}[/tex]
Oba te rozwiązania są zgodne z dziedziną, więc uznajemy je za rozwiązania.
3. Zadanie na dowodzenie
Zacznijmy sobie od treści zadania. Wiemy z niej, że liczby a, b oraz c są dodatnie, więc możemy bez problemu mnożyć obie strony nierówności właśnie przez te liczby, bo dzięki temu jesteśmy pewni tego przez jaką liczbę mnożymy obie strony nierówności. Gdyby to była liczba ujemna, to trzeba byłoby zmienić znak nierówności na przeciwny.
Pomnóżmy więc sobie obie strony przez b:
[tex]\frac{a}{b} < \frac{a+c}{b+c}/*b\\\\ a < \frac{b(a+c)}{b+c}[/tex]
Analogicznie pomnóżmy obie strony przez b+c:
[tex]a < \frac{b(a+c)}{b+c}/*(b+c)\\\\a(b+c) < b(a+c)\\\\ab+ac < ab+bc\\\\ac < bc\\\\ac-bc < 0\\\\c(a-b) < 0[/tex]
Z zadania wiemy, że a < b zatem wartość a - b znajdująca się w nawiasie musi być ujemna. Skoro liczba c jest dodatnia oraz a−b jest ujemne, to iloczyn tych dwóch liczb musi być mniejszy od zera, co należało udowodnić.
