Odpowiedź :
W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym, z którego trzech ścian bocznych można ułożyć trapez o podstawach 10 cm i 20 cm oraz wysokości 12 cm:
Prawda: Suma długości wszystkich krawędzi tego ostrosłupa jest równa 69 cm
Fałsz: Pole podstawy tego ostrosłupa jest równe 36√3 cm²
Ostrosłup prawidłowy trójkątny
Ostrosłup prawidłowy trójkątny ma w podstawie trójkąt równoboczny, a wierzchołek takiego ostrosłupa znajduje się dokładnie nad środkiem podstawy. Ostrosłup prawidłowy trójkątny ma więc trzy takie same ściany boczne. Są one trójkątami równoramiennymi.
Trapez z trzech ścian bocznych ostrosłupa
Jak wiemy z definicji ostrosłupa prawidłowego trójkątnego, jego ściany boczne są trójkątami równoramiennymi. ułożony z nich trapez wygląda tak jak zostało to pokazane w załączniku.
Znając wymiary trapezu możemy zatem wywnioskować, że:
- Wysokość trójkąta będącego ścianą boczną tego ostrosłupa jest równa 12cm
- Podstawa trójkąta będącego ścianą boczną tego ostrosłupa ma długość 10cm
Na podstawie tego możemy obliczyć ramię tego trójkąta (również zaznaczone na rys. ). Korzystając z twierdzenia pitagorasa jest to:
[tex]c^2=h^2+(\frac{1}{2}*10 )^2\\c^2=12^2+5^2\\c^2=144+25\\c^2=169\\c=\sqrt{169}=\sqrt{13^2}=13 [cm][/tex]
Zdania prawda\fałsz
Zdanie 1: Suma długości wszystkich krawędzi tego ostrosłupa jest równa 69 cm
Ostrosłup prawidłowy trójkątny ma 6 krawędzi. Są to:
- 3 krawędzie będące ramionami trójkątów tworzących ściany boczne
- 3 krawędzie podstawy
Z poprzedniego podpunktu wiemy, że ramie trójkąta ściany bocznej ma długość 13cm. Krawędź podstawy ostrosłupa natomiast jest równa krawędzi podstawy trójkąta ściany bocznej, czyli 10cm. Możemy zatem policzyć sumę krawędzi:
[tex]3*13 + 3*10 = 39 + 30 = 69 [cm][/tex]
Wniosek: Zdanie pierwsze jest prawdziwe.
Zdanie 2: Pole podstawy tego ostrosłupa jest równe 36√3 cm²
Z definicji podstawa ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest trójkątem równobocznym. Z poprzedniego podpunktu wiemy, że ma on bok równy 10cm.
Wzór na pole powierzchni trójkąta równobocznego to:
[tex]P=\frac{a^2\sqrt{3} }{4}[/tex]
Zatem pole podstawy tego ostrosłupa jest równe:
[tex]Pp=\frac{10^2*\sqrt{3} }{4} = \frac{100*\sqrt{3} }{4}=25\sqrt{3} [cm^2][/tex]
Wniosek: Zdanie drugie jest fałszywe.
