a)
Tutaj skupiamy sie na kolejnosci wykonywania dzialan
[tex]1\frac13-(2\frac12)^2:(\sqrt{2\frac14}-4)=\\\frac43-(\frac52)^2:(\sqrt{\frac94}-4)=\\\frac43-\frac{25}4:(\frac32-\frac82)=\\\frac43-\frac{25}4:(-\frac52)=\\\frac43-\frac{25}4*(-\frac25)=\\\frac43-\frac{5}2*(-1)=\\\frac43+\frac52=\frac{8}{6}+\frac{15}{6}=\frac{23}6=\underline{3\frac56}[/tex]
b)
Tu wykorzystujemy wzory skroconego mnozenia na kwadraty roznicy oraz sumy.
[tex](a-b)^2=a^2-2ab+b^2\\(a+b)^2=a^2+2ab+b^2[/tex]
[tex](\sqrt2-10)^2+(6\sqrt2+1)^2=\\(\sqrt2)^2-2*10*\sqrt2+10^2+(6\sqrt2)^2+2*1*6\sqrt2+1^2=\\2-20\sqrt2+100+72+12\sqrt2+1=\underline{175-8\sqrt2}[/tex]
c)
Przedstawiamy podstawy potegi jako potege liczby 2, nastepnie wykorzystujemy zaleznosci:
[tex](a^b)^c=a^{b*c}\\a^b*a^c=a^{b+c}\\a^b:a^c=a^{b-c}[/tex]
[tex]a^{-n}=\frac1{a^n}[/tex]
[tex]64^{10}:32^8:16^6=(2^6)^{10}:(2^5)^8:(2^4)^6=2^{60}:2^{40}:2^{24}=2^{60-40-24}=2^{-4}=\frac{1}{2^4}=\frac1{16}[/tex]
d)
Wykorzystujemy zasade mnozenia przez nawias oraz skracanie ulamkow.
[tex]\frac{3^{10}-3^9}{3^8+3^7}=\frac{3^{9}(3-1)}{3^7(3+1)}=\frac{3^2*2}{4}=\frac{3^2}2=\frac{9}2=4\frac12[/tex]
e)
[tex]1-2^{-3}-2^{-5}=1-\frac{1}{2^3}-\frac{1}{2^5}=1-\frac18-\frac1{32}=\frac{32}{32}-\frac4{32}-\frac1{32}=\frac{32}{32}-\frac5{32}=\frac{27}{32}[/tex]
f)
[tex]32^{\frac45}+216^{\frac23}=(2^5)^{\frac45}+(6^3)^{\frac23}=2^4+6^2=16+36=52[/tex]
g)
[tex]\sqrt[3]{12}:\sqrt2=\frac{\sqrt[3]{12}}{\sqrt2}=\frac{\sqrt[3]{12}*\sqrt2}{2}=\frac{\sqrt[3]{12}*\sqrt[3]{2\sqrt2}}2=\frac{\sqrt[3]{24\sqrt2}}2=\frac{2\sqrt[3]{3\sqrt2}}2=\sqrt[3]{3\sqrt2}=\sqrt[3]{\sqrt{18}}=(18^{\frac12})^{\frac13}=18^{\frac16}=\sqrt[6]{18}[/tex]
Jak zamienic pierwiastek 2 stopnia na pierwiastek 3 stopnia?
[tex]2^{\frac12}=(2^{x})^{\frac13}\\2^{\frac12}=2^{\frac13x}\\\frac12=\frac13x /*3\\\frac32=x\\\\2^{\frac32}=\sqrt{2^3}=\sqrt8=2\sqrt2\\\sqrt[3]{\sqrt8}=\sqrt[3]{2^{\frac32}}=(2^\frac32)^{\frac13}=2^{\frac12}=\sqrt2[/tex]
h)
[tex]\sqrt{50}+\sqrt{200}=\sqrt{25*2}+\sqrt{100*2}=5\sqrt2+10\sqrt2=15\sqrt2[/tex]
i)
Usuwanie niewymiernosci z mianownika. Musimy przemnozyc ulamek przez 1 przedstawione w takiej postaci, zeby mianownik dal liczbe calkowita.
[tex]\frac{10}{\sqrt[3]2}=\frac{10}{\sqrt[3]2}*\frac{\sqrt[3]4}{\sqrt[3]4}=\frac{10\sqrt[3]4}{\sqrt[3]8}=\frac{10\sqrt[3]4}{2}=5\sqrt[3]4[/tex]
j)
Usuwanie niewymiernosci z mianownika korzystajac ze wzoru skroconego mnozenia na roznice kwadratow
[tex]a^2-b^2=(a-b)(a+b)[/tex]
[tex]\frac{10}{5-\sqrt5}=\frac{10}{5-\sqrt5}*\frac{5+\sqrt5}{5+\sqrt5}=\frac{10(5+\sqrt5)}{5^2-(\sqrt5)^2}=\frac{10(5+\sqrt5)}{25-5}=\frac{10(5+\sqrt5)}{20}=\frac{5+\sqrt5}2[/tex]
Nanioslam punkty na wykres. Wszystko wskazuje, ze dla x≥2, funkcja jest stala i jej wartosc wynosi 5, tak wiec f(5)=5.
Wlasnosci funkcji:
[tex]D: x \in\langle-4; \infty)\\Zw: y\in\langle-1; 5\rangle\\\text{Miejsca zerowe: } x=-4, x=-\frac12, x=\frac13\\\text{Przedzialy monotonicznosci: }\\f^{\uparrow}: x\in\langle-4; -2\rangle\cup\langle0; 2\rangle\\f^{\downarrow}: x\in \langle-2; 0\rangle\\f^{\rightarrow}:x\in\langle2; \infty)[/tex]
Wyznaczamy dziedzine funkcji
Zalozenia:
- mianownik nie moze byc zerem
- wartosc pod pierwiastkiem 2 stopnia musi byc wieksza lub rowna 0
[tex]y=\frac{? (\text{nie moge rozczytac co jest w liczniku})}{\frac37x+6}+\sqrt{\frac12x+10}\\\\\frac37x+6 \neq 0 /-6\\\frac37x \neq -6 /*\frac73\\x \neq -6*\frac73\\x \neq -2*7\\x \neq -14\\\\\frac12x+10 \geq0 /-10\\\frac12x \geq -10 /*2\\x \geq -20\\\\D: x\in \langle-20; -14)\cup(-14; \infty)[/tex]
[tex]y=\frac27x-6\\\\\text{Robimy tabelke: }\\\\\text{Dla x=7:}\\y=\frac27*7-6\\y=2-6\\y=-4\\\\\text{Dla x=0}\\y=\frac27*0-6\\y=-6\\\\\left[\begin{array}{ccc}x&0&7\\y&-6&-4\end{array}\right] \\\\\text{Wykres w zalaczniku}[/tex]
[tex]\text{Wyznaczamy miejsce zerowe: }\\\frac27x-6=0 /+6\\\frac27x=6 /*\frac72\\x=6*\frac72\\x=3*7\\\fbox{x=21}[/tex]
[tex]a)\\\\x^2 \leq (x-6)^2\\x^2 \leq x^2-12x+36\\12x \leq 36 /:12\\x \leq 3\\\\x\in(-\infty; 3\rangle[/tex]
[tex]b)\\\\\left \{ {{x-3y=2 /*5} \atop {2x+5y=3 /*3}} \right. \\+\left \{ {{5x-15y=10} \atop {6x+15y=9}} \right. \\5x+6x=10+9\\11x=19 /:11\\x=\frac{19}{11}\\\frac{19}{11}-3y=2 /-\frac{19}{11}\\-3y=\frac{22}{11}-\frac{19}{11}\\-3y=\frac3{11} /:(-3)\\y=\frac3{11}:(-3)\\y=\frac3{11}*(-\frac13)\\y=-\frac1{11}\\\\P(\frac{19}{11}; -\frac1{11})_[/tex]
