Zad. 1.
Proste sa prostopadle wtedy, kiedy iloczyn ich wspolczynnikow kierunkowych jest rowny -1.
[tex]a_k*a_l=-1[/tex]
Proste sa rownolegle wtedy, kiedy ich wspolczynniki kierunkowe sa rowne.
[tex]a_k=a_l[/tex]
a)
Odczytujemy wspolczynnik kierunkowy prostej k.
[tex]k: y=3+x \to y=x+3\\a_k=1[/tex]
Wyznaczamy wspolczynnik kierunkowy prostej l
[tex]1*a_l=-1\\a_l=-1[/tex]
Podstawiamy wspolczynnik kierunkowy prostej l do postaci kierunkowej prostej.
[tex]y=ax+b\\l: y=-x+b[/tex]
Podstawiamy wspolrzedne punktu A i wyznaczamy wspolczynnik b.
[tex]5=-1*4+b\\5=-4+b /+4\\9=b[/tex]
Wyznaczamy prosta l.
[tex]\underline{l: y=-x+9}[/tex]
b)
Odczytujemy wspolczynnik kierunkowy prostej k i wyznaczamy wspolczynnik kierunkowy prostej l.
[tex]k: y=0.5x-1\\a_k=\frac12\\a_l=\frac12[/tex]
Wyznaczamy postaj kierunkowa prostej l:
[tex]l: y=\frac12x+b[/tex]
Podstawiamy wspolrzedne punktu A pod postac kierunkowa i wyznaczamy b a nastepnie wzor funkcji.
[tex]0=\frac12*(-4)+b\\0=-2+b\\2=b\\\\l: y=\frac12x+2[/tex]
Zad. 2.
Wyznaczamy wspolczynniki kierunkowe funkcji zawierajace odcinki |AB|, |AC|, |BC|.
[tex]|AB|\\\\\left \{ {{-3=-6a+b} \atop {-3=4a+b}} \right. \\\left \{ {{b=6a-3} \atop {-3=4a+b}} \right. \\\\4a+6a-3=-3\\10a=0 /:10\\a=0[/tex]
[tex]|AC|\\\\\left \{ {{-3=-6a+b} \atop {1=2a+b}} \right. \\\left \{ {{b=6a-3} \atop {1=2a+b}} \right. \\2a+6a-3=1\\8a=1+3\\8a=4 /:8\\a=\frac12[/tex]
[tex]|BC|\\\\\left \{ {{-3=4a+b} \atop {1=2a+b}} \right. \\\left \{ {{-3=4a+b} \atop {1-2a=b}} \right. \\-3=4a+1-2a\\-3=2a+1\\-4=2a /:2\\-2=a[/tex]
Sprawdzamy, sa katy proste.
[tex]a_{AB}*a_{AC}=0*\frac12=0 \neq -1\\a_{AB}*a_{BC}=0*(-1)=0 \neq -1\\a_{AC}*a_{BC}=\frac12*(-2)=-1[/tex]
Odp. Trojkat jest prostokatny.
