Rozwiązane

W trójkąt prostokątny o kacie ostrym 30 stopni wpisano okrąg. Połączone punkty styczności utworzyły trójkąt wpisany w okrąg. Oblicz miary katów tego trójkąta.



Odpowiedź :

Unicorn05

Przyjmijmy oznaczenia jak w załączniku.

Promień okręgu poprowadzony do punktu styczności (okręgu z prostą styczną do tego okręgu) tworzy ze styczną kąt prosty.

Stąd:

|∡ADS| = |∡CDS| = |∡AES| = |∡BES| = |∡BFS| = |∡CFS| = 90°

Suma kątów wewnętrznych trójkąta wynosi 180°

Czyli (z trójkąta ABC):

|∡BAC| = 180° -90° - 30° = 60°

Suma kątów wewnętrznych czworokąta wynosi 360°

Czyli:

  • Z czworokąta AESD:

        |∡ESD| = 360° - 60° - 2·90° = 120°

  • Z czworokąta EBFS:

        |∡ESF| = 360° - 30° - 2·90° = 150°

  • Z czworokąta SFCD:

        |∡DSF| = 360° - 90° - 2·90° = 90°

Trójkąt utworzony przez dwa promienie okręgu i jego cięciwę jest trójkątem równoramiennym, więc kąty przy jego podstawie (cięciwie) mają taką samą miarę, a suma kątów w trójkącie wynosi 180°, czyli:

|DS| = |SE| = r     ⇒     |∡DES| = |∡EDS| = (180° - 120°):2 = 30°

|FS| = |SE| = r      ⇒     |∡FES| = |∡EFS| = (180° - 150°):2 = 15°

|DS| = |FS| = r     ⇒     |∡DFS| = |∡FDS| = (180° - 90°):2 = 45°

Zatem:

|∡DEF| = |∡DES| + |∡FES| = 30° + 15° = 45°

|∡DFE| = |∡DFS| + |∡EFS| = 45° + 15° = 60°

|∡EDF| = |∡EDS| + |∡FDS| = 30° + 45° = 75°

Odp.:

Kąty trójkąta utworzonego przez punkty styczności okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny o kącie ostrym 30° z bokami tego trójkąta prostokątnego mają miary:

                                                45°, 60° i 75°

Zobacz obrazek Unicorn05

Inne Pytanie