Rozwiązane

9. 12. W trójkącie boki mają długości 13, 14, 15. Oblicz długość promienia
okręgu, którego środek leży na najdłuższym boku, stycznego do pozo-
stałych boków tego trójkąta. ​.



Odpowiedź :

r=[tex]\frac{56}{9}[/tex]cm

Wyznaczanie długości promienia okręgu:

Rysunek znajduje się w załączniku

W zadaniu musimy wyznaczyć długość promienia okręgu wpisanego w deltoid ABCD.

|AC| = 15

  • Pole deltoidu możemy obliczyć wzorem:

Pd = 2*PΔ [tex]_{ABC}[/tex]. - stanowi to dodane do siebie pola dwóch trójkątów, które tworzą deltoid.

  • Pole trójkąta ABC można wyznaczyć z wzoru Herona,

Wzór Herona, mówi, że gdy mamy dane długości wszystkich boków trójkąta to możemy policzyć jego pole korzystając z poniższego wzoru:

P = [tex]\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}[/tex]

a, b, c - długości boków trójkąta

p - połowa obwodu trójkąta, czyli  [tex]p = \frac{1}{2}(a + b + c)[/tex]

  • Wyznaczamy więc pole trójkąta ABC:

a = 13, b=14, c=15

p= [tex]\frac{1}{2}(13+14+15)=\frac{1}{2}*42=21[/tex] - połowa obwodu trójkąta

  • Teraz możemy skorzystać z wzoru Herona:

P = [tex]\sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)}=\sqrt{21*8*7*6}=\sqrt{7056}=84[/tex] [tex]cm^{2}[/tex]

Otrzymaliśmy pole trójkąta ABC.

  • Teraz możemy policzyć pole deltoidu:

Pd = 2*PΔ [tex]_{ABC}[/tex] = 2 * 84 = 168 [tex]cm^{2}[/tex]

  • Wyznaczamy połowę długości obwodu deltoidu.

Obwód deltoidu = 13+13+14+14=54

54:2=27 cm=p - połowa obwodu deltoidu

  • Pole dowolnego czworokąta o obwodzie 2p, w którego wpisany jest okrąg o promieniu długości r można wyznaczyć z zależności:

P = p*r

stąd: [tex]r=\frac{P}{p}[/tex]

  • Obliczamy długość promienia okręgu, którego środek leży na najdłuższym boku, stycznego do pozostałych boków tego trójkąta.

[tex]r=\frac{168}{27}=\frac{56}{9}[/tex] cm

Zobacz obrazek Jslawin189

Inne Pytanie