Odpowiedź :
Wierzchołek C = (25, 0) lub (-11,0). Obwód trójkąta jest równy 109
Obliczanie długości boku i obwodu trójkąta
Długość boku jest odległością od jednego wierzchołka do drugiego wierzchołka.
Odległość pomiędzy dwoma punktami, które mają podane współrzędne, możemy obliczyć ze wzoru:
|AB| = [tex]\sqrt{(x_{2}-x_{1} ) ^{2} + (y_{2}-y_{1} ) ^{2} }[/tex]
Dane z zadania:
- Trójkąt jest równoramienny
- |AC| = |BC|
- Wierzchołek A = (-20,12)
- Wierzchołek B = (7,3)
- Wierzchołek C = (X, 0)
Wiemy, że wierzchołek C ma współrzędne (X, 0), ponieważ leży na osi [tex]O_{y}[/tex].
Możemy zapisać długości boków trójkąta |AB| oraz |BC|:
- Bok |AB|
|AB| =[tex]\sqrt{(7-(-20) ) ^{2} + (3-12 ) ^{2}} = \sqrt{(-13 ) ^{2} + (-9 ) ^{2}} = \sqrt{169 + 81} = \sqrt{169} + \sqrt{81} = 13 + 9 = 21[/tex]
Bok |AB jest równy 21
- Bok |BC|
|BC| = [tex]\sqrt{(x-7 ) ^{2} + (0-3 ) ^{2} } = \sqrt{(x-7 ) ^{2} + (-3 ) ^{2} } = \sqrt{(x-7 ) ^{2} + 9}[/tex] = [tex]\sqrt{(x-7 ) ^{2}} + \sqrt{3} = \sqrt{(x-7 ) ^{2}} + 3[/tex]
Bok |BC| jest równy [tex]\sqrt{(x-7 ) ^{2}} + 3[/tex]
Z zadania wiemy, że bok |BC| jest równy bokowi |AB|, ponieważ trójkąt jest równoramienny. Możemy więc przyrównać do siebie długości obu boków.
[tex]\sqrt{(x-7 ) ^{2}} + 3[/tex] = 21
[tex]\sqrt{(x-7 ) ^{2}}[/tex] = 21 - 3
[tex]\sqrt{(x-7 ) ^{2}}[/tex] = 18
Obustronnie podnosimy do kwadratu, aby usunąć pierwiastek
[tex](x-7)^{2}[/tex] = 324
Rozwiązujemy wzór skróconego mnożenia:
[tex]x^{2}[/tex] - 14x + 49 = 324
[tex]x^{2}[/tex] - 14x + 49 - 324 = 0
[tex]x^{2}[/tex] - 14x - 275 = 0
Rozwiązujemy równanie funkcji kwadratowej:
Δ = [tex]b^{2}[/tex] - 4ac
Δ = [tex](-14)^{2}[/tex] - 4 * 1 * (-275)
Δ = 196 + 1100 = 1296
[tex]\sqrt{1296}[/tex] = 36
Obliczamy miejsca zerowe funkcji:
[tex]x_{1}[/tex] = [tex]\frac{-(-14) - 36}{2 * 1} = \frac{-22}{2} = -11[/tex]
[tex]x_{2}[/tex] = [tex]\frac{-(-14) + 36}{2 * 1} = \frac{50}{2} = 25[/tex]
Możliwe współrzędne punktu C to:
C = (-11, 0)
C = (25,0)
Obwód w obu przypadkach będzie taki sam.
Obliczamy długość boku |AC|:[tex]\sqrt{(25-(-20) ) ^{2} + (0-12 ) ^{2} } = \sqrt{(25+20 ) ^{2} + (-12 ) ^{2} } = \sqrt{(45 ) ^{2} + (-12 ) ^{2} } = \sqrt{2025 + 144 } = \sqrt{2025} + \sqrt{144} = 45 + 12 = 67[/tex]
Bok |AC| jest równy 67.
Obwód trójkąta:
Obw. = 67 + 21 + 21 = 109
