Odpowiedź :
Wykresy funkcji w załączniku.
Rysowanie wykresów funkcji kwadratowej
Funkcja kwadratowa ma postać:
[tex]f(x) =ax^2+bx+c[/tex]
gdzie a, b, c to współczynniki liczbowe. Aby narysować wykres funkcji musimy znaleźć co najmniej 3 punkty należące do tego wykresu. Można to zrobić na dwa sposoby:
- tabelka - podstawiamy wybrane przez nas x i obliczamy wartości f(x), a następnie zaznaczamy te punkty w układzie współrzędnych i łączymy
- punkty charakterystyczne - wyznaczamy punkty charakterystyczne dla każdej paraboli, tj. wierzchołek, miejsca zerowe i miejsce przecięcia wykresu z osią OY.
My spróbujemy narysować te wykresy korzystając z drugiej metody. Zacznijmy od wykresu [tex]f(x)=-x^2[/tex]. Współczynniki liczbowe tej funkcji kolejno to: a = -1, b = 0 oraz c = 0. Wyznaczymy najpierw wierzchołek paraboli W = (p, q), gdzie:
[tex]p=-\frac{b}{2a}=0\\\\q=-\frac{\Delta}{4a}=f(p)=0[/tex]
Zatem wierzchołek tej funkcji leży w początku układu współrzędnych.
Teraz sprawdzimy miejsca zerowe. W tym celu musimy obliczyć deltę:
[tex]\Delta=b^2-4ac=0\\\\[/tex]
Delta jest zerowa więc mamy tylko jedno miejsce zerowe w punkcie:
[tex]x=-\frac{b}{2a}=0\\[/tex]
Możemy więc zauważyć, że w przypadku tej funkcji miejsce zerowe jest jednocześnie wierzchołkiem paraboli. Pozostaje nam sprawdzić miejsce przecięcia z osią OY, czyli f(0). Tutaj ponownie widzimy że to jest ten sam punkt. Widzimy tutaj, że wszystkie charakterystyczne wartości są w tym samym punkcie, a żeby więc narysować wykres funkcji, potrzebujemy kilka punktów, musimy posłużyć się zatem tabelką:
[tex]\begin{table}[]\begin{tabular}{lllll}-2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\-4 & -1 & 0 & -1 & -4 \\\end{tabular}\end{table}[/tex][tex]\begin{tabular}{llllll}\\x&-2&-1&0&1&2\\\\f(x)&-4&-1&0&-1&-4\end{tabular}[/tex]
Po zaznaczeniu tych punktów łączymy je i tworzymy parabolę.
Możemy zauważyć, że funkcje [tex]-4x^2[/tex] oraz [tex]-\frac{1}{2}x^2[/tex] mają podobną postać do funkcji [tex]-x^2[/tex]. Różnią się jedynie współczynnikiem kierunkowym a. Oznacza to, że wierzchołek, miejsce zerowe i przecięcie z osią OY będzie takie samo. Zmienią się za to pozostałe punkty. Wystarczy więc jeśli sporządzimy tabelki:
1) dla [tex]f(x)=-4x^2[/tex]
[tex]\begin{tabular}{llllll}\\x&-2&-1&0&1&2\\\\f(x)&-16&-4&0&-4&-16\end{tabular}[/tex]
2) dla [tex]f(x) = -\frac{1}{2}x^2[/tex]
[tex]\begin{tabular}{llllll}\\x&-2&-1&0&1&2\\\\f(x)&-2&-0,5&0&-2&-0,5\end{tabular}[/tex]
Nanosimy odpowiednio punkty i łączymy je. Uzyskujemy 3 parabole. Warto zauważyć, że gdy a > 1 to parabola kurczy się w stosunku do paraboli o współczynniku a = 1, a gdy a < 1, parabola rozszerza się.
