Odpowiedź :
1) x ∈ (0, [tex]\frac{2}{5}[/tex]) ∪ (6, +∞)
2) x ∈ (-9, 0) ∪ (0, 3)
3) x ∈ {3} ∪ <4, +∞)
4) x ∈ (-∞, 2> ∪ <0, 3>
5) x ∈ (-∞, -3) ∪ (5, +∞)
Nierówności wielomianowe
Nierówności wielomianowe rozwiązujemy bardzo podobnie do równań wielomianowych. Jedyna dodatkowa rzecz sprowadza się do narysowania szkicu wykresu funkcji wielomianu i odczytanie z niego przedziału spełniającego nierówność. Żeby rozwiązać nierówność wielomianową musimy skorzystać z pewnych metod, które poznane były wcześniej, tj.
- rozkład wielomianu na czynniki, czyli zapisanie wzoru wielomianu w postaci iloczynu nawiasów (czyli w postaci iloczynowej). Do rozkładania wielomianów na iloczyn czynników najczęściej stosujemy takie metody jak:
- rozwiązywanie równań wielomianowych;
- rysowanie wykresów wielomianowych:
- Przekształcamy wzór wielomianu do postaci iloczynowej.
- Wyznaczamy miejsca zerowe (pierwiastki) wielomianu.
- Określamy krotności wyliczonych pierwiastków oraz stopień wielomianu. Stopień wielomianu to najwyższa potęga, a krotność pierwiastka, to najprościej mówiąc potęga nawiasu, który zeruje dany pierwiastek (ile razy się jakieś rozwiązanie powtarza)
- Rysujemy wykres wielomianu od lewej strony do prawej według schematu:
- Rysujemy układ współrzędnych.
- Na osi x-ów zaznaczamy wyliczone miejsca zerowe.
- Określamy miejsce z którego zaczniemy rysować nasz wykres:
- Jeżeli stopień wielomianu jest parzysty oraz współczynnik liczbowy przy x w najwyższej potędze jest dodatni, to zaczynamy rysowanie z lewego górnego rogu układu współrzędnych.
- Jeżeli stopień wielomianu jest nieparzysty oraz współczynnik liczbowy przy x w najwyższej potędze jest dodatni, to zaczynamy rysowanie z lewego dolnego rogu układu współrzędnych.
- Jeżeli stopień wielomianu jest parzysty oraz współczynnik liczbowy przy x w najwyższej potędze jest ujemny, to zaczynamy rysowanie z lewego dolnego rogu układu współrzędnych.
- Jeżeli stopień wielomianu jest nieparzysty oraz współczynnik liczbowy przy x w najwyższej potędze jest ujemny, to zaczynamy rysowanie z lewego górnego rogu układu współrzędnych.
- Rysujemy linię wykresu do najbliższego miejsca zerowego.
- Jeżeli dane miejsce zerowe ma krotność nieparzystą, to w tym miejscu wykres przebija oś x-ów.
- Jeżeli miejsce zerowe ma krotność parzystą, to w tym miejscu wykres odbija się od osi x-ów.
- Gdy już przejdziemy przez wszystkie miejsca zerowe, to kończymy rysowanie wykresu, pozwalając mu uciec do nieskończoności, po tej stronie osi x-ów, po której się znajduje.
W zadaniu zauważamy, że wszystkie wielomiany są już podane w postaci iloczynowej, więc pierwszą część zadania będziemy mieli za sobą. Teraz musimy przyrównać nawiasy do zera i narysować wykres.
1) [tex]x(x - 6)(5x + 2) > 0[/tex]
[tex]x = 0 \wedge x-6=0 \wedge 5x-2=0\\\\[/tex]
Z pierwszego równania mamy rozwiązanie x = 0
Z drugiego: x = 6
Z trzeciego: 5x = 2 -> x = [tex]\frac{2}{5}[/tex]
Żadne z rozwiązań się nie powtarza, co więcej potęgi przy nawiasach są równe 1 więc wszystkie te pierwiastki są jednokrotne. Rysujemy wykres i odczytujemy rozwiązanie: x ∈ (0, [tex]\frac{2}{5}[/tex]) ∪ (6, +∞)
2) [tex]x^2(x-3)(x+9) < 0[/tex]
[tex]x^2 = 0 \wedge x-3=0 \wedge x+9=0[/tex]
Z pierwszego równania mamy rozwiązanie x = 0
Z drugiego: x = 3
Z trzeciego: x = -9
Przy rozwiązaniu x = 0 mamy potęgę 2, tzn. że x = 0 jest pierwiastkiem dwukrotnym, pozostałe są jednokrotne. Rysujemy wykres i odczytujemy rozwiązanie: x ∈ (-9, 0) ∪ (0, 3)
3) [tex](x^2-6x+9)(x-4) \geq 0[/tex]
[tex](x-3)^2(x-4) \geq 0[/tex]
[tex]x-3 = 0 \wedge x-4=0[/tex]
Z pierwszego równania mamy rozwiązanie x = 3
Z drugiego: x = 4
Przy rozwiązaniu x = 3 mamy potęgę 2, tzn. że x = 3 jest pierwiastkiem dwukrotnym, pozostałe są jednokrotne. Rysujemy wykres i odczytujemy rozwiązanie: x ∈ {3} ∪ <4, +∞)
4) [tex]x^3-x^2-6x \leq0[/tex]
[tex]x(x^2-x-6)\leq0[/tex]
[tex]x = 0 \wedge x^2-x-6=0[/tex]
Z pierwszego równania mamy rozwiązanie x = 0
W drugim równaniu musimy wyznaczyć deltę:
[tex]\Delta = b^2-4ac\\\\\Delta = 1^2-4*1*(-6)\\\\\Delta = 25[/tex]
Delta jest dodatnia więc mamy dwa rozwiązania:
[tex]x_1= \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}= \frac{1+5}{2}=3[/tex]
[tex]x_2= \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}= \frac{1-5}{2}=-2[/tex]
Żadne z rozwiązań się nie powtarza, co więcej potęgi przy nawiasach są równe 1 więc wszystkie te pierwiastki są jednokrotne. Rysujemy wykres i odczytujemy rozwiązanie: x ∈ (-∞, 2> ∪ <0, 3>
5) [tex](5- x)(x + 3)(x -4)^2 < 0[/tex]
[tex]5-x=0\wedge x+3=0\wedge x-4=0[/tex]
Z pierwszego równania mamy rozwiązanie x = 5
Z drugiego: x = -3
Z trzeciego: x = 4
Przy rozwiązaniu x = 4 mamy potęgę 2, tzn. że x = 4 jest pierwiastkiem dwukrotnym, pozostałe są jednokrotne. Rysujemy wykres i odczytujemy rozwiązanie: x ∈ (-∞, -3) ∪ (5, +∞)
Wykresy są zamieszczone w załączniku.
