Odpowiedź :
Prawidłowa odpowiedź to odpowiedź D.
Nierówności wielomianowe
Nierówności wielomianowe rozwiązujemy bardzo podobnie do równań wielomianowych. Jedyna dodatkowa rzecz sprowadza się do narysowania szkicu wykresu funkcji wielomianu i odczytanie z niego przedziału spełniającego nierówność. Żeby rozwiązać nierówność wielomianową musimy skorzystać z pewnych metod, które poznane były wcześniej, tj.
- rozkład wielomianu na czynniki, czyli zapisanie wzoru wielomianu w postaci iloczynu nawiasów (czyli w postaci iloczynowej). Do rozkładania wielomianów na iloczyn czynników najczęściej stosujemy takie metody jak:
- wyciąganie wspólnego czynnika przed nawias,
- wzory skróconego mnożenia,
- deltę (Δ),
- grupowanie wyrazów.
- rozwiązywanie równań wielomianowych, czyli:
- przenosimy wszystkie wyrażenia na lewą stronę równania, tak aby po prawej stronie zostało zero,
- zapisujemy lewą stronę w postaci iloczynowej,
- przyrównujemy każdy nawias do zera,
- rozwiązujemy kilka prostych równań i podajemy rozwiązania
- rysowanie wykresów wielomianowych:
- Przekształcamy wzór wielomianu do postaci iloczynowej.
- Wyznaczamy miejsca zerowe (pierwiastki) wielomianu.
- Określamy krotności wyliczonych pierwiastków oraz stopień wielomianu. Stopień wielomianu to najwyższa potęga, a krotność pierwiastka, to najprościej mówiąc potęga nawiasu, który zeruje dany pierwiastek (ile razy się jakieś rozwiązanie powtarza)
- Rysujemy wykres wielomianu od lewej strony do prawej według schematu:
- Rysujemy układ współrzędnych.
- Na osi x-ów zaznaczamy wyliczone miejsca zerowe.
- Określamy miejsce z którego zaczniemy rysować nasz wykres:
- Jeżeli stopień wielomianu jest parzysty oraz współczynnik liczbowy przy x w najwyższej potędze jest dodatni, to zaczynamy rysowanie z lewego górnego rogu układu współrzędnych.
- Jeżeli stopień wielomianu jest nieparzysty oraz współczynnik liczbowy przy x w najwyższej potędze jest dodatni, to zaczynamy rysowanie z lewego dolnego rogu układu współrzędnych.
- Jeżeli stopień wielomianu jest parzysty oraz współczynnik liczbowy przy x w najwyższej potędze jest ujemny, to zaczynamy rysowanie z lewego dolnego rogu układu współrzędnych.
- Jeżeli stopień wielomianu jest nieparzysty oraz współczynnik liczbowy przy x w najwyższej potędze jest ujemny, to zaczynamy rysowanie z lewego górnego rogu układu współrzędnych.
- Rysujemy linię wykresu do najbliższego miejsca zerowego.
- Jeżeli dane miejsce zerowe ma krotność nieparzystą, to w tym miejscu wykres przebija oś x-ów.
- Jeżeli miejsce zerowe ma krotność parzystą, to w tym miejscu wykres odbija się od osi x-ów.
- Gdy już przejdziemy przez wszystkie miejsca zerowe, to kończymy rysowanie wykresu, pozwalając mu uciec do nieskończoności, po tej stronie osi x-ów, po której się znajduje.
W zadaniu zauważamy, że wielomian jest już podany w postaci iloczynowej, więc pierwszą część zadania będziemy mieli za sobą. Teraz musimy przyrównać nawiasy do zera i narysować wykres.
[tex](1+x^3 )(1+2x)(-2+x) > 0\\\\1+x^3=0 \land 1+2x=0\land-2+x=0\\\\x^3=-1 \land 2x=-1 \land x=2\\\\x=-1 \land x = -\frac{1}{2} \land x=2[/tex]
Krotności są odpowiednio 3, 1, 1.
Rozwiązanie jest też zamieszczone w załączniku.
Na podstawie otrzymanego przedziału widzimy, że w tym przedziale mieści sie jedynie x = 3.
