Odpowiedź :
Gdy miara kąta wewnętrznego n-kąta foremnego jest o 2° mniejsza od miary kąta wewnętrznego n + 2 - kąta foremnego, n jest równe 18.
Wzór na miarę kąta wewnętrznego wielokąta foremnego
Wzór na sumę kątów wewnętrznych w wielokącie foremnym to:
[tex](n-2)*180[/tex]
Zatem miara pojedynczego kąta wewnętrznego takiego wielokąta to:
[tex]\frac{(n-2)*180}{n}[/tex]
Obliczanie n
Wiemy, że miara kąta wewnętrznego n-kąta foremnego jest o 2° mniejsza od miary kąta wewnętrznego n + 2 - kąta foremnego.
Miara kąta wewnętrznego n-kąta foremnego to zgodnie ze wzorem:
[tex]\frac{(n-2)*180}{n}[/tex]
Natomiast dla wielokąta foremnego dla ilości boków n+2 miara kąta wewnętrznego to:
[tex]\frac{(n+2-2)*180}{n+2}=\frac{180n}{n+2}[/tex]
ponieważ zamiast n podstawiamy wtedy n+2.
Teraz układamy równość zgodnie z poleceniem:
[tex]\frac{(n-2)*180}{n} + 2 = \frac{180n}{n+2} \\\frac{180n-360+2n}{n} = \frac{180n}{n+2}\\ \frac{182n-360}{n} = \frac{180n}{n+2}\\[/tex]
Mnożymy "na krzyż":
[tex](182n-360)*(n+2)=(180n)*n\\182n^2-360n+364n-720=180n^2\\2n^2+4n-720 = 0 \\n^2+2n-360 = 0[/tex]
I rozwiązujemy równanie kwadratowe, przez obliczenie delty:
[tex]\Delta = b^2-4ac=4+1440= 1444\\\sqrt{\Delta}= \sqrt{1444}=38 \\n_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta} }{2a}=\frac{-2+38}{2}=\frac{36}{2}=18\\ n_2 =\frac{-b-\sqrt{\Delta} }{2a} = \frac{-2-38}{2}=\frac{-40}{2}=-20[/tex]
Bierzemy w tym przypadku pod uwagę tylko pierwszy wynik, ponieważ wielokąt nie może mieć ujemnej liczby boków.
Wniosek: n=18, zatem jest to 18-kąt foremny.
