Odpowiedź :
Szukanych liczb jest 70.
Kombinacja bez powtórzeń
Umożliwia policzyć, na ile sposobów można wybrać k elementów z n-elementowego zbioru.
Wzór na kombinację
[tex]C^{k}_n=\left[\begin{array}{ccc}n\\k\end{array}\right] =\frac{n!}{k!(n-k)!}[/tex], gdzie
k-elementowy podzbiór
n-elementowy zbiór
n! - Silnia liczby naturalnej n, jest to iloczyn kolejnych liczb naturalnych od 1 do n. Zapisujemy to zatem jako n!=1x2x3x...x(n-1)n.
np. 3!=1x2x3=6
5!=1x2x3x4x5=120
Pierwsza cyfra musi być większa od 0, ponieważ gdy pierwszą cyfrą będzie cyfra 0 wówczas powstanie liczba 4-cyfrowa. Zatem
n={1,2,3,4,5,6,7,8,9} - bez cyfr 0 i 7 (cyfry nie mogą się powtarzać)
k=4, ponieważ
Wiemy, że w poszukiwanych liczbach występuje cyfra 7, wówczas pozostaną 4 miejsca (ma być bez powtórzeń).
[tex]C^{4}_8=\left[\begin{array}{ccc}4\\8\end{array}\right]=[/tex]
[tex]C^{4}_8=\left[\begin{array}{ccc}4\\8\end{array}\right]=\frac{8!}{8!(4-8)!}=\frac{1x2x3x4x5x6x7x8}{8!(4-8)!}=\frac{8!}{4!x4!}=\frac{4!x5x6x7x8}{4!x4x3x2x1}[/tex]
Teraz skracamy
4 i 8 przez 4
6 i 4 przez 2
[tex]\frac{4!x5x2x7x2}{4!x1x2x2}[/tex]
Teraz skracamy 2szystkie dwójki (2 pary)
[tex]\frac{4!x5x1x7x1}{4!x1x1x1}=\frac{1x2x3x4x5x1x7x1}{1x2x3x4x1x1x1}=\frac{1x2x3x4x5x7}{1x2x3x4}=\frac{140}{2}=70[/tex]
[tex]\frac{4!x5x2x7x2}{4!x1x2x2}=\frac{140}{2}=70[/tex]
Cyfry 4-elementowego podzbioru zapisujemy w ciągu rosnącym.
1x70=70
Wniosek: Szukanych liczb jest 70.
