Funkcja jest malejąca w przedziale (-∞; 2) ∪ (-2; 0)
Funkcja jest rosnąca w przedziale (0; 2) ∪ (2; +∞)
Funkcja ma maksimum lokalne w x = 0
W celu wyznaczenia monotoniczności i ekstremów funkcji musimy znać pojęcie pochodnej. Pochodna pokazuje nam jak funkcja zmienia się w danym punkcie. Mamy funkcję [tex]y= \frac{x^2-1}{x^2-4}[/tex]. W pierwszej kolejności musimy określić dziedzinę funkcji. Wiemy, że w mianowniku ułamka nie może być 0. Zatem:
[tex]x^2-4 \neq0\\\\(x+2)(x-2)\neq0\\\\x+2\neq0 \wedge x-2 \neq0\\\\x \neq -2 \wedge x\neq 2[/tex]
Zatem dziedziną tej funkcji jest [tex]x \in \mathbb{R} \backslash \{-2,2\}[/tex].
Teraz możemy obliczyć pochodną funkcji. Zauważmy, że nasza funkcja y jest tak naprawdę złożeniem dwóch funkcji. Musimy więc skorzystać ze wzoru na pochodną ilorazu funkcji:
[tex](\frac{f(x)}{g(x)}})'=\frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2}[/tex]
Mamy więc:
[tex]y' =\frac{(x^2-1)'(x^2-4) - (x^2-1)(x^2-4)'}{(x^2-4)^2}=\frac{2x(x^2-4)-(x^2-1)(2x)}{(x^2-4)^2}=\\\\=\frac{2x^3-8x-2x^3+2x}{(x^2-4)^2}= \frac{-6x}{(x^2-4)^2}[/tex]
Wyznaczyliśmy pochodną funkcji. Żeby znaleźć ekstremum musimy tą pochodną przyrównać do zera, tzn. y' = 0. Zatem:
[tex]\frac{-6x}{(x^2-4)^2}=0[/tex]
Dziedzina tej pochodnej pokrywa się z dziedziną funkcji. Mamy więc dalej:
[tex]\frac{-6x}{(x^2-4)^2}=0 /*(x^2-4)^2\\\\-6x=0/:(-6)\\\\x=0[/tex]
Wyznaczyliśmy ekstremum lokalne w x = 0. Musimy sporządzić teraz szkic wykresu pochodnej, żeby określić przedziały monotoniczności (załącznik).
Musimy teraz stworzyć tabelkę monotoniczności, tzn. tworzymy 3 wiersze (x, f'(x) oraz f(x)) w kolumnach wpisujemy przedziały monotoniczności, ekstrema i punkty w których funkcja nie istnieje (dla formalności). Musimy teraz zbadać naszą pochodną. Mianowicie:
Tabelka znajduje się w załączniku. Na podstawie niej widzimy, że
