Odpowiedź :
Prawdopodobieństwo to jest równe [tex]\frac{11}{32}[/tex]
Rachunek prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa wykorzystujemy w celu obliczenia szansy zaistnienia pewnego określonego zdarzenia. Żeby obliczyć szansę dowolnego zdarzenia A, musimy określić liczbę zdarzeń sprzyjających (moc zbioru A) oraz liczbę wszystkich możliwych zdarzeń (moc zbioru zdarzeń elementarnych). Następnie do obliczenia prawdopodobieństwa korzystamy z jednego wzoru:
[tex]P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}[/tex]
gdzie:
- |A| - to liczba zdarzeń sprzyjających (moc zbioru |A|)
- |Ω| - to liczba wszystkich możliwych zdarzeń (elementarnych) (moc zbioru |Ω|)
Warto zaznaczyć, że ten wzór jest prawdziwy tylko wtedy, gdy wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne (np. rzut monetą).
Wprowadziliśmy tutaj kilka dodatkowych pojęć:
- Doświadczenie losowe - czynność którą wykonujemy, np.: rzut kostką
- Zdarzenie elementarne - zdarzenie (tylko jedno!) jakie może wydarzyć się w doświadczeniu losowym
- Zdarzenie losowe - zbiór jednego lub kilku zdarzeń elementarnych,
- Moc zbioru - liczba elementów danego zbioru. Moc zbioru obliczamy stosując m. in. elementy kombinatoryki.
Zastosujmy te informacje do obliczenia zadania. Naszym doświadczeniem losowym jest w tym przypadku rzut monetą. W takim rzucie możemy otrzymać jeden z dwóch możliwych wyników: orzeł (O) lub reszka (R). Zakładając, że moneta jest symetryczna, możemy stwierdzić, że prawdopodobieństwo wyrzucenia orła jest takie samo jak reszki, czyli [tex]\frac{1}{2}[/tex]. W jednym rzucie mamy zatem 2 zdarzenia elementarne: wypada orzeł lub reszka. My w zadaniu mamy takich rzutów 6. Więc liczba wszystkich możliwych zdarzeń będzie równa:
[tex]|\Omega|=2*2*2*2*2*2=2^6=64[/tex].
Teraz utwórzmy zdarzenie losowe. W naszym przypadku, będzie to zdarzenie polegające na wyrzuceniu co najmniej 4 orłów. Oznacza to również, że uwzględniamy sytuację, kiedy wypadnie 5 lub nawet 6 orłów. Musimy sprawdzić ile będzie takich sytuacji. Po kolei mamy:
1) Wypada 6 orłów. Tutaj nie ma problemu bo takich sytuacji jest tylko jedna.
2) Wypada nam 5 orłów i 1 reszka. W tym przypadku, reszka może zostać wyrzucona jako pierwsza, druga itd.:
(ROOOOO), (OROOOO), (OOROOO), (OOOROO), (OOOORO), (OOOOOR)
Czyli mamy tutaj 6 takich możliwości.
3) Wypadają 4 orły i 2 reszki. Zamiast wypisywać wszystkie możliwości, których jest nieco więcej to możemy skorzystać z kombinacji. Kombinacja pozwala policzyć na ile sposobów można wybrać k elementów z n-elementowego zbioru. Wzór na kombinację jest następujący:
[tex]{n \choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}[/tex]
Naszym n tutaj będzie 6 rzutów monetą, a k - 4 orły (albo 2 reszki). Wtedy w sumie takich sytuacji mamy:
[tex]{6 \choose 4}=\frac{6!}{2!*4!}=\frac{4!*5*6}{2*4!}=\frac{30}{2}=15[/tex]
Mamy więc 15 możliwych sytuacji kiedy wypadają 4 orły i dwie reszki.
Zatem po zsumowaniu wszystkich pasujących zdarzeń mamy:
[tex]|A|=1+6+15=22[/tex]
Mając obliczone moce zbiorów, możemy obliczyć prawdopodobieństwo naszego zdarzenia:
[tex]P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{22}{64}=\frac{11}{32}[/tex]
