Odpowiedź:
[tex]|BD|=5\sqrt7[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Stosunek miar kątów położonych przy jednym boku równoległoboku ABCD jest równy 1:2. Zatem jeśli miarę kąta ostrego oznaczymy jako [tex]\alpha[/tex], to kąt rozwarty będzie miał miarę [tex]2\alpha[/tex]. Z sumy miar kątów przy jednym boku równoległoboku wynika, że:
[tex]\alpha+2\alpha=180^\circ\\3\alpha=180^\circ\ |:3\\\alpha=60^\circ\\2\alpha=120^\circ[/tex]
Zatem kąt ostry ma miarę 60°, a kąt rozwarty ma miarę 120°.
Obwód równoległoboku wynosi 50. Jeśli oznaczymy długości boków tego równoległoboku jako a i b, to znajdziemy związek między nimi.
[tex]2a+2b=50\ |:2\\a+b=25\\b=25-a[/tex]
W trójkącie CFD mamy:
[tex]\sin\alpha=\frac{3x}{a}\\\sin60^\circ=\frac{3x}{a}\\\frac{\sqrt3}{2}=\frac{3x}{a}\ |*\frac{a}{3}\\x=\frac{\sqrt3}{6}a[/tex]
W trójkącie AED mamy:
[tex]\sin\alpha=\frac{2x}{b}\\\sin60^\circ=\frac{2x}{25-a}\\\frac{\sqrt3}{2}=\frac{2x}{25-a}\ |*\frac{25-a}{2}\\x=\frac{\sqrt3}{4}(25-a)[/tex]
Przyrównajmy wyrażenia na x uzyskane w obu powyższych przypadkach.
[tex]\frac{\sqrt3}{6}a=\frac{\sqrt3}{4}(25-a)\ |:\sqrt3\\\frac{1}{6}a=\frac{1}{4}(25-a)\ |*12\\2a=3(25-a)\\2a=75-3a\\5a=75\ |:5\\a=15\\b=25-a=25-15=10\\x=\frac{\sqrt3}{6}a=\frac{\sqrt3}{6}*15=\frac{5\sqrt3}{2}[/tex]
Aby policzyć długość przekątnej BD, skorzystamy z tw. cosinusów dla trójkąta ABD.
[tex]|BD|^2=a^2+b^2-2ab\cos\alpha\\|BD|^2=15^2+10^2-2*15*10*\cos60^\circ\\|BD|^2=225+100-300*\frac{1}{2}\\|BD|^2=325-150\\|BD|^2=175\\|BD|=\sqrt{175}\\|BD|=\sqrt{25*7}\\|BD|=5\sqrt7[/tex]
