Odpowiedź:
[tex]a\in(\sqrt2,2)[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
[tex]x^2-2ax+a^3-2a=0[/tex]
Aby równanie kwadratowe miało 2 różne rozwiązania, musi być spełniony warunek:
[tex]\Delta > 0\qquad(1)[/tex]
Aby równanie kwadratowe miało 2 rozwiązania dodatnie, muszą być spełnione warunki:
[tex]x_1*x_2 > 0\qquad(2)\\x_1+x_2 > 0\qquad(3)[/tex]
Dla warunku (1):
[tex]\Delta > 0\\\Delta=(-2a)^2-4*1*(a^3-2a)=4a^2-4a^3+8a=-4a^3+4a^2+8a\\-4a^3+4a^2+8a > 0\ |:(-4)\\a^3-a^2-2a < 0\\a(a^2-a-2) < 0\\\Delta_a=(-1)^2-4*1*(-2)=1+8=9\\\sqrt{\Delta_a}=3\\a_1=\frac{1-3}{2}=-1\\a_2=\frac{1+3}{2}=2\\a(a+1)(a-2) < 0\\a\in(-\infty,-1)\cup(0,2)[/tex]
Dla warunku (2) (skorzystamy ze wzoru Viete'a na iloczyn miejsc zerowych):
[tex]x_1*x_2 > 0\\\frac{a^3-2a}{1} > 0\\a^3-2a > 0\\a(a^2-2) > 0\\a(a-\sqrt2)(a+\sqrt2) > 0\\a\in(-\sqrt2,0)\cup(\sqrt2,+\infty)[/tex]
Dla warunku (3) (skorzystamy ze wzoru Viete'a na sumę miejsc zerowych):
[tex]x_1+x_2 > 0\\-\frac{-2a}{1} > 0\\2a > 0\ |:2\\a > 0\\a\in(0,+\infty)[/tex]
Ostatecznie dla wszystkich trzech warunków:
[tex]a\in(\sqrt2,2)[/tex]
