Odpowiedź :
a) x = [tex]-\frac{8}{3}[/tex], y = [tex]\frac{4}{3}[/tex]
b) x = [tex]\frac{18}{13}[/tex], y = [tex]\frac{141}{13}[/tex]
c) Układ równań nie ma rozwiązań rzeczywistych
d) x = -4,5, y =6,875
e) x = 2,5; y = 9,5
f) x =0, y = 5
Rozwiązywanie układów równań
a)
[tex]\frac{1}{2}[/tex]x + [tex]\frac{1}{4}[/tex]y = [tex]\frac{1}{4}[/tex]x - 1
-[tex]\frac{1}{4}[/tex] + [tex]\frac{1}{2}[/tex]y = [tex]\frac{1}{4}[/tex]y + 3
Wyznaczamy z jednego równania dowolną niewiadomą.
[tex]\frac{1}{2}[/tex]x + [tex]\frac{1}{4}[/tex]y = [tex]\frac{1}{4}[/tex]x - 1
Wyznaczmy y. Przenosimy niewiadome y na lewą stronę, a resztę na prawą. Pamiętajmy, że przenosząc liczbę na drugą stronę równania, należy zmienić jej znak na przeciwny.
[tex]\frac{1}{4}[/tex]y = [tex]\frac{1}{4}[/tex]x - 1 - [tex]\frac{1}{2}[/tex]x
Obustronnie mnożymy razy 4, aby pozbyć się ułamków.
y = x - 4 - 2x
y = -4 - x
Wyznaczony y wstawiamy do drugiego równania.
-[tex]\frac{1}{4}[/tex] + [tex]\frac{1}{2}[/tex]y = [tex]\frac{1}{4}[/tex]y + 3
-[tex]\frac{1}{4}[/tex] + [tex]\frac{1}{2}[/tex](-4-x) = [tex]\frac{1}{4}[/tex](-4-x) + 3
Obustronnie mnożymy razy 4, aby pozbyć się ułamków.
-1 + 2(-4-x) = -4 - x + 3
-1 - 8 - 2x = -4 - x + 3
-2x - x = 1 + 8 - 4 + 3
-3x = 8
x = [tex]-\frac{8}{3}[/tex]
Obliczamy y
y = -4 - x
y = - 4 - ([tex]-\frac{8}{3}[/tex])
y = [tex]-\frac{12}{3}[/tex] + [tex]\frac{8}{3}[/tex] = [tex]\frac{4}{3}[/tex]
b)
x + [tex]\frac{1}{2}[/tex](x - y) = 15
[tex]\frac{2}{3}[/tex] (x + y) - [tex]\frac{1}{2}[/tex]x = -7
Pozbywamy się nawiasów z oby równań
- x + [tex]\frac{1}{2}[/tex]x - [tex]\frac{1}{2}[/tex]y = 15
[tex]\frac{3}{2}[/tex] x - [tex]\frac{1}{2}[/tex]y = 15
- [tex]\frac{2}{3}[/tex] x + [tex]\frac{2}{3}[/tex]y - [tex]\frac{1}{2}[/tex]x = -7
Wyznaczamy y z pierwszego równania
[tex]\frac{3}{2}[/tex] x - [tex]\frac{1}{2}[/tex]y = 15
Mnożymy obustronnie razy 2
3x - y = 15
y = 3x - 15
Wstawiamy do drugiego równania
[tex]\frac{2}{3}[/tex] x + [tex]\frac{2}{3}[/tex](3x - 15) - [tex]\frac{1}{2}[/tex]x = -7
Mnożymy obustronnie razy 6 aby pozbyć się ułamków
4x + 4 (3x - 15) - 3x = -42
4x + 12x - 60 - 3x = -42
13x = 18
x = [tex]\frac{18}{13}[/tex]
y = 3x - 15
y = 3* [tex]\frac{18}{13}[/tex] - 15
y = [tex]\frac{54}{13} - \frac{195}{13}[/tex] = [tex]\frac{141}{13}[/tex]
c)
[tex]\frac{1}{2}[/tex] (x - y) = [tex]\frac{1}{3}[/tex] (x - y)
[tex]\frac{4}{5}[/tex]x - [tex]\frac{1}{5}[/tex](y + 3x) = -4
- [tex]\frac{1}{2}[/tex] (x - y) = [tex]\frac{1}{3}[/tex] (x - y)
Obustronnie mnożymy razy 6
3(x - y) = 2(x - y)
3x - 3y = 2x - 2y
x = y
- [tex]\frac{4}{5}[/tex]x - [tex]\frac{1}{5}[/tex](y + 3x) = -4
Obustronnie mnożymy razy 5
4x - (y + 3x) = -20
4x - y - 3x = -20
x = -20 + y
x = y
Wstawiamy x do drugiego równania
y = -20 + y
0 = -20
Układ równań nie ma rozwiązań rzeczywistych
d)
0,07x + 0,2y = 0,7 - 0,08x
0,25 - 0,15y = 0,25 (y - 10)
Wyznaczamy y z pierwszego równania
0,07x + 0,2y = 0,7 - 0,08x
0,2y = 0,7 - 0,08x - 0,07x
0,2y = 0,7 - 0,15x
y = 3,5 - 0,75x
Wstawiamy do drugiego równania
0,25 - 0,15y = 0,25 (y - 10)
0,25 - 0,15y = 0,25 y - 2,5
0,25 - 0,15( 3,5 - 0,75x) = 0,25 (3,5 - 0,75x) - 2,5
0,25 - 0,525 + 0,1125x = 0,875 - 0,1875x - 2,5
0,1125x + 0,1875x = 0,875 - 2,5 - 0,25 + 0,525
0,3x = -1,35
x = -4,5
y = 3,5 - 0,75x
y = 3,5 - 0,75 (-4,5)
y = 3,5 + 3,375 = 6,875
e)
0,01x - 0,01(y - 1) = -0,06
0,03 - 0,02(y-2)= -0,12
Wyznaczamy y z jednego z równań
0,03 - 0,02(y-2)= -0,12
0,03 - 0,02y + 0,04 = -0,12
- 0,02y = -0,12 - 0,04 - 0,03
- 0,02y = -0,19
y = 9,5
Wstawiamy do drugiego równania
0,01x - 0,01(y - 1) = -0,06
0,01x - 0,01y + 0,01 = -0,06
0,01x - 0,01*9,5 + 0,01 = -0,06
0,01x - 0,095 + 0,01 = -0,06
0,01x= -0,06 + 0,095 - 0,01
0,01x = 0,025
x = 2,5
f)
- 0,2(x+2y) - 0,3(2x-y) = 3,5
- 2(x+y)-(x-2) = 2y+2.
2(x+y)-(x-2) = 2y+2.
2x + 2y -x + 2 = 2y + 2
2x = 0
x = 0
Wstawiamy do drugiego równania
0,2(x+2y) - 0,3(2x-y) = 3,5
0,4y +0,3y = 3,5
0,7y = 3,5
y = 5
